역함수의 미분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.7절 · 16번

OpenStax 1권 · 3.7절 · 16번우리말 번역

주어진 각 함수 $y=f(x)$ 에 대해 a. 표시된 점 $P$ 에서 역함수 ${f}^{-1}$ 의 접선의 기울기를 구하세요. b. 표시된 점에서 ${f}^{-1}$ 의 그래프의 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x-4},P(2,8)$

영어 원문 보기

For each of the given functions $y=f(x),$ a. find the slope of the tangent line to its inverse function ${f}^{-1}$ at the indicated point $P,$ and b. find an equation of the tangent line to the graph of ${f}^{-1}$ at the indicated point.

$f(x)=\sqrt{x-4},P(2,8)$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

a. $4,$ b. $y=4x$

원본 교재 풀이(영어)

a. $4,$ b. $y=4x$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 2.6절 · 10번우리말 번역

$h(x) = x + \sin(x)$ 라 하자.

(a) $y = h(x)$ 의 그래프를 그리고, $h$ 가 왜 역함수를 가져야 하는지 설명하세요. (b) $h^{-1}$ 의 식을 대수적으로 구하는 것이 왜 가능해 보이지 않는지 설명하세요. (c) 점 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} + 1)$ 이 $y = h(x)$ 의 그래프 위에 있음을 확인하세요. $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1)$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 함수 $h$ 는 그래프가 수평선 판정법을 통과하므로 역함수를 가진다. (b) 방정식 $y = x + \sin(x)$ 를 $x$ 에 대하여 $y$ 로 나타내어 푸는 것은 가능해 보이지 않는다. (c) 역함수의 미분법에 의해 $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{1}{h'\left(\frac{\pi}{2} \right)}$ 이다. 따라서 먼저 $h'(x)$ 를 구하면 $h'(x) = 1 + \cos(x)$ 이다. $h'\left(\frac{\pi}{2} \right) = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} \right) = 1$ 이므로 $(h^{-1})'(\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{1}{1} = 1$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 역함수의 미분법그래프·표 해석자동 분류