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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

역함수의 미분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.7절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 다음을 구하세요.

a. x=ax=a 에서의 dfdx\frac{df}{dx} 와 b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. 이어서 b를 이용하여 y=f(a)y=f(a) 에서의 df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} 를 구하세요.

f(x)=2x3−3,x=1f(x)=2{x}^{3}-3,x=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use the functions y=f(x)y=f(x) to find

a. dfdx\frac{df}{dx} at x=ax=a and b. x=f−1(y).x={f}^{-1}(y). c. Then use part b. to find df−1dy\frac{d{f}^{-1}}{dy} at y=f(a).y=f(a).

f(x)=2x3−3,x=1f(x)=2{x}^{3}-3,x=1

정답·풀이 보기

a. 6, b. x=f−1(y)=(y+32)1/3,x={f}^{-1}(y)={\left(\frac{y+3}{2}\right)}^{1/3}, c. 16\frac{1}{6}

원본 교재 풀이(영어)

a. 6, b. x=f−1(y)=(y+32)1/3,x={f}^{-1}(y)={\left(\frac{y+3}{2}\right)}^{1/3}, c. 16\frac{1}{6}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.7절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 앉았을 때 사람의 눈높이보다 10피트 위에서 시작하는 높이 30피트의 스크린이 있는 한 동네 영화관에서, 시야각 θ\theta (단위: 라디안)는 다음과 같이 주어진다.

θ=cot⁡−1x40−cot⁡−1x10\theta ={\cot }^{-1}\frac{x}{40}-{\cot }^{-1}\frac{x}{10},

여기서 xx 는 다음 그림과 같이 사람이 앉아 있는 곳에서 영화 스크린까지의 거리(단위: 피트)이다.

한 사람의 눈에서 시작하는 직각삼각형이 그려져 있다. 직각은 눈의 반대쪽에 있으며, 높이는 10, 밑변은 x 이다. 눈에서 스크린의 위쪽 끝까지 선이 그어져 있고, 이 선은 삼각형의 빗변과 각 θ 를 이룬다. 스크린의 높이는 30 이다.

a. dθdx\frac{d\theta }{dx} 를 구하세요. b. x=5,10,15x=5,10,15, 그리고 20 일 때 dθdx\frac{d\theta }{dx} 의 값을 구하세요. c. b의 결과를 해석하세요. d. x=25,30,35x=25,30,35, 그리고 40 일 때 dθdx\frac{d\theta }{dx} 의 값을 구하세요. e. d의 결과를 해석하세요. 시야각을 최대로 하려면 사람은 스크린에서 얼마의 거리 xx 에 앉아야 하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. dθdx=10100+x2−401600+x2\frac{d\theta }{dx}=\frac{10}{100+{x}^{2}}-\frac{40}{1600+{x}^{2}} b. 18325,9340,424745,0\frac{18}{325},\frac{9}{340},\frac{42}{4745},0 c. 사람이 스크린에서 멀어질수록 시야각이 증가하므로, 멀어질수록 스크린이 보이는 시야가 넓어진다. d. −5412905,−3500,−19829945,−91360-\frac{54}{12905},-\frac{3}{500},-\frac{198}{29945},-\frac{9}{1360} e. 스크린에서 20피트보다 더 멀어지면 시야각은 감소한다. 시야각을 최대로 하기 위해 사람이 서 있어야 할 최적의 거리는 20피트이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 역함수의 미분법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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