음함수의 미분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.8절 · 10번

OpenStax 1권 · 3.8절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 음함수의 미분법을 써서 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

${x}^{3}y+x{y}^{3}=-8$

영어 원문 보기

For the following exercises, use implicit differentiation to find $\frac{dy}{dx}.$

${x}^{3}y+x{y}^{3}=-8$

풀이 보기

y 를 x 의 함수로 보고 양변을 x 로 미분한 뒤, $\frac{dy}{dx}$ 가 들어 있는 항만 모아 정리해요.

1
왜 이렇게 할까요? 식이 $y=\cdots$ 꼴이 아니어서 바로 미분할 수 없어요. 그래서 $y$ 를 $x$ 의 함수로 생각하고 양변을 $x$ 에 대해 미분해요. $y$ 가 들어간 항은 연쇄법칙 때문에 $\frac{dy}{dx}$ 가 하나씩 붙어요.
2
각 항을 곱의 미분법으로 미분해요. $x^3y$ 는 $x^3$ 과 $y$ 의 곱이므로 $\frac{d}{dx}(x^3y)=3x^2y+x^3\frac{dy}{dx}$ 이고, $xy^3$ 은 $\frac{d}{dx}(xy^3)=y^3+x\cdot 3y^2\frac{dy}{dx}$ 예요. 우변 $-8$ 은 상수이므로 미분하면 $0$ 이에요.
3
미분한 식을 합쳐요. $3x^2y+x^3\frac{dy}{dx}+y^3+3xy^2\frac{dy}{dx}=0$
4
$\frac{dy}{dx}$ 가 있는 항끼리 모아요. 없는 항은 우변으로 넘겨요. $(x^3+3xy^2)\frac{dy}{dx}=-3x^2y-y^3$
5
양변을 $x^3+3xy^2$ 으로 나눠요. $\frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}$

답

$\frac{dy}{dx}=\dfrac{-3x^2y-y^3}{x^3+3xy^2}$

자주 하는 실수

곱의 미분법을 쓸 때 $y^3$ 을 미분하면서 $3y^2$ 뒤에 $\frac{dy}{dx}$ 를 붙이는 것을 잊어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{dy}{dx}=\frac{-3{x}^{2}y-{y}^{3}}{{x}^{3}+3x{y}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 2.6절 · 1번우리말 번역

음함수와 양함수의 차이를 자신의 말로 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

답은 다양하다.