음함수의 미분법

먼저 음함수 미분으로 $\frac{dy}{dx}$ 를 구한다. 주어진 방정식의 양변을 $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 $x$ 에 대해 미분하면

$$6y^2 \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} - 5y^4 \frac{dy}{dx} = 4x^3 - 6x^2 + 2x\,.$$ 좌변에서 $\frac{dy}{dx}$ 를 묶어 내고 $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 나누어 풀면

$$\frac{dy}{dx} = \frac{4x^3 - 6x^2 + 2x}{6y^2 + 2y - 5y^4} = \frac{2x(2x^2 - 3x + 1)}{y(-5y^3 + 6y + 2)}\,.$$ 접선은 $\frac{dy}{dx}$ 의 분자가 0인 곳에서 수평일 수 있고, $\frac{dy}{dx}$ 가 0인 곳에서 수직일 수 있다. $2x(2x^2 - 3x + 1) = 0$ 을 풀면

$$2x(2x-1)(x-1) = 0$$

이므로 분자는 $x = 0, 0.5, 1$ 에서 0이다. 분모는 $y(-5y^3 + 6y + 2) = 0$ 인 곳에서 0이다. 기술을 이용하여 $-5y^3 + 6y + 2 = 0$ 의 해를 어림하면 분모는 $y = 0$ 과 $y \approx -0.856, -0.379, 1.235$ 에서 0이다.

다음으로, 수평 접선 또는 수직 접선이 생길 수 있는 이 점들의 좌표를 구해야 한다. 먼저 수평 접선이 생길 수 있는 위치를 생각한다. $x = 0$ 일 때 $2y^3+y^2-y^5 = x^4 - 2x^3 + x^2 = 0$ 이므로 $y^2(2y + 1 - y^3) = 0$ 이고, 따라서 $y = 0$, $y=-1$ 또는 $y \approx -0.618, 1.618$ 이다. 그러면 살펴볼 점은 $(0,0)$, $(0,-1)$, $(0,-0.618)$, $(0,1.618)$ 의 네 개이다. 아래 그래프에서 $(0,0)$ 에서의 접선은 수평이 아니지만(이 점에서는 $\frac{dy}{dx}$ 의 분자와 분모가 모두 0이다) 나머지 세 점에서는 접선이 수평임을 분명히 알 수 있다.

이제 분자가 0인 다른 $x$ 의 값에 대해서도 같은 방식으로 추론한다. $x = 1$ 일 때 $2y^3+y^2-y^5 = 1^4 - 2\cdot 1^3 + 1^2 = 0$ 이고, 여기서도 $y = 0$, $y=-1$ 또는 $y \approx -0.618, 1.618$ 이다. 그러면 접선이 수평일 수 있는 점은 $(1,0)$, $(1,-1)$, $(1,-0.618)$, $(1,1.618)$ 의 네 개이다. $(1,0)$ 에서는 수평 접선이 없지만 나머지 점에서는 그림에서 보듯이 수평 접선이 있다. $x = 0.5$ 일 때도 비슷하게 추론하면 $2y^3+y^2-y^5 = 0.5^4 - 2\cdot 0.5^3 + 0.5^2 = 0.625$ 이고, 이로부터 $y \approx -1.0493, 0.2104, 1.6139$ 를 얻으므로 세 점 $(0.5,-1.0493)$, $(0.5,0.2104)$, $(0.5, 1.6139)$ 를 얻는다.

다시 분모가 0인 곳($y = 0$ 과 $y \approx -0.856, -0.379, 1.235$)으로 돌아가서, 접선이 수직인 점을 구한다. 아래 그림에서 $y = 0$ 또는 $y \approx -0.856$ 일 때는 수직 접선이 없음이 분명하므로, 따져 볼 값은 $y \approx -0.379, 1.235$ 두 개이다.

$y \approx -0.379$ 일 때 $2(-0.379)^3+(-0.379)^2-(-0.379)^5 = x^4 - 2x^3 + x^2$ 이므로

$$x^4 - 2x^3 + x^2 = 0.0426$$

이고, 이로부터 $x \approx -0.1756, 0.2912, 0.7088, 1.1756$ 을 얻는다. 그림에서 $(-0.1756,-0.379)$, $(0.2912,-0.379)$, $(0.7088,-0.379)$, $(1.1756,-0.379)$ 에 수직 접선이 있음을 확인할 수 있다.

마지막으로 $y \approx 1.235$ 일 때 $2(1.235)^3+(1.235)^2-(1.235)^5 = x^4 - 2x^3 + x^2$ 이므로

$$x^4 - 2x^3 + x^2 = 2.4195$$

이고, 따라서 기술을 이용하면 $x \approx -0.8437, 1.8437$ 이다. 이로써 접선이 수직인 점 $(-0.8437, 1.235)$ 와 $(1.8437, 1.235)$ 가 추가로 나온다.

지금까지의 모든 풀이를 다음 그림에 정리하였다.