음함수의 미분법

접선의 기울기는 당연히 도함수로 주어지므로, 먼저 두 도형의 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 각각 구하자.

$$\begin{aligned} \\ \text{원의 경우, 음함수 미분을 하면} \\ 2x+2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 풀면} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{x}{y} \\ \text{타원의 경우에도 음함수 미분을 하면:} \\ 2x+6y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=0 \\ \text{이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 에 대해 풀면} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{x}{3y} \\ \text{우리가 구하려는 것은 두 도함수가 같아지는 $x$ 의 값이다. 그런데 두 도형에서 같은 $x$ 에 대응하는 $y$ 의 값은 다를 수 있으므로, $y_1$ 을 원 위에서 $x$ 에 대응하는 $y$ 의 값, $y_2$ 를 타원 위에서 $x$ 에 대응하는 $y$ 의 값이라 하자. 즉, $x^2+ y_1^2=1$ 이고 $x^2+3y_2^2=1$ 이다. 원 위의 점 $(x,y_1)$ 에서의 기울기와 타원 위의 점 $(x,y_2)$ 에서의 기울기가 같으려면 다음이 성립해야 한다:} \\ -\frac{x}{y_1}&=-\frac{x}{3y_2}\\ x\left(\frac{1}{y_1}-\frac{1}{3y_2}\right)&=0 \\ \text{따라서 $x=0$ 또는 $y_1=3y_2$ 이다. 원의 $y$ 좌표가 타원의 $y$ 좌표의 세 배가 되는 $x$ 의 값이 무엇인지 생각해 보자. $y_1=3y_2$ 이고, $(x,y_1)$ 이 원 위에 있고, $(x,y_2)$ 가 타원 위에 있다면, $x^2+y_1^2 =x^2+(3y_2)^2=1$ 이고 $x^2+3y_2^2=1$ 이다. 이 경우:} \\ x^2+9y_2^2&=x^2+3y_2^2\\ 9y_2^2&=3y_2^2\\ y_2&=0\\ x&=\pm 1 \end{aligned}$$

여기서는 약간 주의해야 한다. $y=0$ 일 때 두 곡선 모두 $y'$ 이 정의되지 않는다. 두 곡선 모두 $y=0$ 일 때 접선이 수직이므로(따라서 실수값의 기울기가 없다!) 두 수직선은 실제로 평행하다.

따라서 $x=0$ 일 때와 $x=\pm1$ 일 때, 두 곡선의 접선은 서로 평행하다.