도함수의 활용(여러 가지 함수) 연습문제 — OpenStax 1권 · 3.9절 · 25번

OpenStax 1권 · 3.9절 · 25번우리말 풀이

[계산기 사용] 함수 $f(x)=x\cdot 5^{x}$ 의 그래프 위의 점 $x=1$ 에서 법선(접선에 수직인 직선)의 방정식을 구하세요. 함수와 법선을 함께 그래프로 그려 보세요.

영어 원문 보기

[T] Find an equation of the line that is normal to the graph of $f(x)=x\cdot {5}^{x}$ at the point where $x=1.$ Graph both the function and the normal line.

풀이 보기

법선의 기울기는 접선 기울기의 역수에 마이너스를 붙인 값( $-1/m$ )이에요.

1
법선을 구하려면 먼저 그 점의 좌표와 접선의 기울기가 필요해요. $x=1$ 일 때 $f(1)=1\cdot5^1=5$ 이므로 점은 $(1,5)$ 예요.
2
접선의 기울기는 미분계수 $f'(1)$ 이에요. $x$ 와 $5^x$ 의 곱이므로 곱의 미분법과 $(5^x)'=5^x\ln5$ 를 써요.

$f'(x)=5^{x}+x\cdot5^{x}\ln5$

$f'(1)=5+5\ln5$
3
법선은 접선에 수직이므로 기울기의 곱이 $-1$ 이에요. 법선의 기울기는

$m=-\frac{1}{5+5\ln5}$
4
점 $(1,5)$ 를 지나고 기울기가 $m$ 인 직선이므로

$y-5=-\frac{1}{5+5\ln5}(x-1)$

$y=-\frac{1}{5+5\ln5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\ln5}\right)$
5
그래프로 확인하면 $f(x)=x5^x$ 는 $x$ 가 음수일 때 $0$ 에 가깝고 $x>0$ 에서 빠르게 증가해요. 기울기가 $-\frac{1}{5+5\ln5}\approx-0.077$ 로 매우 작아서 법선은 $y=5$ 근처에서 거의 수평으로 보이고, $(1,5)$ 에서 곡선과 만나요.

답

$y=-\dfrac{1}{5+5\ln5}x+\left(5+\dfrac{1}{5+5\ln5}\right)$

자주 하는 실수

접선의 기울기를 그대로 법선의 기울기로 쓰거나, 역수만 취하고 부호를 바꾸지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts at (−3, 0), decreases slightly and then increases through the origin and increases to (1.25, 10). There is a straight line marked T(x) with slope −1/(5 + 5 ln 5) and y intercept 5 + 1/(5 + 5 ln 5).

$y=\frac{-1}{5+5\ln 5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\ln 5}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.6절 · 53번

다음 문제에서는 계산기를 쓰지 않고 함수의 그래프를 그리세요. 극대·극소, 변곡점, 점근선 근처의 모습처럼 그래프의 중요한 특징을 모두 살펴보세요.

$y=x\tan x,\quad x=[-\pi ,\pi ]$

다 풀었으면 정답 확인

$y$ 축 대칭, 수직점근선 $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ , $x=0$ 에서 극솟값 $0$ , $x=\pm\pi$ 에서 값 $0$ , 변곡점은 $x\approx\pm2.8$ 근처 (그래프는 풀이 참조)

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 도함수의 활용(여러 가지 함수)그래프·표 해석보통