도함수의 활용(여러 가지 함수)

법선을 구하려면 먼저 그 점의 좌표와 접선의 기울기가 필요해요. $x=1$ 일 때 $f(1)=1\cdot5^1=5$ 이므로 점은 $(1,5)$ 예요.

접선의 기울기는 미분계수 $f'(1)$ 이에요. $x$ 와 $5^x$ 의 곱이므로 곱의 미분법과 $(5^x)'=5^x\ln5$ 를 써요.

$$f'(x)=5^{x}+x\cdot5^{x}\ln5$$

$$f'(1)=5+5\ln5$$

법선은 접선에 수직이므로 기울기의 곱이 $-1$ 이에요. 법선의 기울기는

$$m=-\frac{1}{5+5\ln5}$$

점 $(1,5)$ 를 지나고 기울기가 $m$ 인 직선이므로

$$y-5=-\frac{1}{5+5\ln5}(x-1)$$

$$y=-\frac{1}{5+5\ln5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\ln5}\right)$$

그래프로 확인하면 $f(x)=x5^x$ 는 $x$ 가 음수일 때 $0$ 에 가깝고 $x>0$ 에서 빠르게 증가해요. 기울기가 $-\frac{1}{5+5\ln5}\approx-0.077$ 로 매우 작아서 법선은 $y=5$ 근처에서 거의 수평으로 보이고, $(1,5)$ 에서 곡선과 만나요.

대칭부터 확인해요. $f(-x)=(-x)\tan(-x)=x\tan x=f(x)$ 이므로 $y$축에 대하여 대칭이에요. $0\le x\le\pi$ 만 살피고 나머지는 대칭으로 그리면 돼요.

점근선을 찾아요. $\tan x$ 가 정의되지 않는 곳은 $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ 이고, 거기서 $x\ne0$ 이라 $|f(x)|\to\infty$ 가 되어 수직점근선이에요. 부호는 $\dfrac{\pi}{2}$ 왼쪽에서 $x\tan x\to+\infty$, 오른쪽에서 $\to-\infty$ 예요.

중요한 점의 값을 구해요. $f(0)=0$, $f(\pm\pi)=\pi\cdot 0=0$ 이에요. $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 에서는 $x>0$, $\tan x>0$ 이라 $f>0$, $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ 에서는 $\tan x<0$ 이라 $f<0$ 이에요.

증가·감소를 살펴요. $f'(x)=\tan x+x\sec^2x=\dfrac{\sin x\cos x+x}{\cos^2x}$ 이에요. 분자 $g(x)=x+\dfrac{\sin 2x}{2}$ 는 $g'(x)=1+\cos 2x\ge0$ 이라 늘어나기만 하고 $g(0)=0$ 이므로 $x>0$ 에서 $g>0$ 이에요. 따라서 $0<x<\pi$ 에서 $f'>0$ 으로 증가해요. 극값은 $x=0$ 에서의 극솟값 $0$ 뿐이에요.

오목·볼록을 살펴요. $f''(x)=2\sec^2x\,(1+x\tan x)$ 이므로 부호는 $1+x\tan x$ 가 정해요. $0\le x<\dfrac{\pi}{2}$ 에서는 $x\tan x\ge0$ 이라 아래로 볼록해요. $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ 에서는 $x\tan x=-1$ 이 되는 $x\approx2.8$ 에서 부호가 바뀌어 위로 볼록했다가 아래로 볼록해지는 변곡점이 생겨요.

그래프를 정리해요. $0$ 에서 시작해 $\dfrac{\pi}{2}$ 쪽으로 $+\infty$ 로 올라가고, 점근선 오른쪽에서는 $-\infty$ 에서 올라와 $x=\pi$ 에서 $0$ 이 돼요. 왼쪽 절반은 $y$축 대칭으로 그려요.

왜 이렇게 할까요? 최적화 문제는 먼저 구하려는 양(여기서는 시간 $T$)을 하나의 변수($\theta$)로 나타내는 데서 시작해요.

기본 관계를 떠올려요. 일정한 속력으로 움직이면 $$\text{시간}=\frac{\text{거리}}{\text{속력}}$$ 이에요.

두 구간으로 나눠요. 전체 시간은 $$T(\theta)=\frac{(\text{달리는 거리})}{(\text{달리는 속력})}+\frac{(\text{헤엄치는 거리})}{(\text{헤엄치는 속력})}$$ 이에요. 이 문제의 원본 답에서 첫 항 $\frac{40\theta}{3v}$ 는 달리는 시간, 둘째 항 $\frac{40\cos\theta}{v}$ 는 헤엄치는 시간에 해당해요.

각 $\theta$ 로 거리를 나타내요. (원문 앞 문제의 상황: 지름 $40\,\text{m}$ 인 원 모양 수영장 가장자리의 점 $A$ 에 있는 구조원이, 지름의 반대쪽 끝 $C$ 에 있는 사람에게 가요. 헤엄치는 속력은 $v$, 수영장 가장자리를 달리는 속력은 $3v$ 예요.) 구조원이 지름 $AC$ 와 각 $\theta$ 를 이루는 방향으로 헤엄쳐 가장자리의 점 $B$ 에 닿은 뒤, 나머지는 가장자리를 따라 달린다고 해요.

• 헤엄치는 거리: 지름 위의 원주각 $\angle ABC=90^\circ$ 이므로 삼각형 $ABC$ 는 직각삼각형이고 $AB=AC\cos\theta=40\cos\theta$ 예요.
• 달리는 거리: 원주각 $\angle BAC=\theta$ 에 대한 중심각은 $2\theta$ 이므로, 반지름 $20$ 인 원에서 호 $BC$ 의 길이는 $20\cdot2\theta=40\theta$ 예요.

각 거리를 속력으로 나누면 헤엄치는 시간은 $\dfrac{40\cos\theta}{v}$, 달리는 시간은 $\dfrac{40\theta}{3v}$ 예요.

식을 완성해요. $$T(\theta)=\frac{40\theta}{3v}+\frac{40\cos\theta}{v}$$ 이 식을 $\theta$ 로 미분해 $0$ 이 되는 곳을 찾으면 시간이 가장 짧은 각을 구할 수 있어요.