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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

지수함수와 로그함수의 미분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 3.9절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=xπ⋅πxf(x)=x^{\pi }\cdot \pi^{x}

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=xπ⋅πxf(x)={x}^{\pi }\cdot {\pi }^{x}

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xπx^{\pi} 는 밑이 변수(거듭제곱함수), πx\pi^x 는 지수가 변수(지수함수)예요. 둘의 미분 공식이 다르다는 걸 구별해요.

  1. 1

    두 함수의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. u=xπu=x^{\pi}, v=πxv=\pi^{x} 로 놓아요.

  2. 2

    u=xπu=x^{\pi} 는 xx 의 거듭제곱이에요. π\pi 는 그냥 상수이므로 (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1} 을 그대로 써요.

    u′=πxπ−1u'=\pi x^{\pi-1}

  3. 3

    v=πxv=\pi^{x} 는 지수에 xx 가 있는 지수함수예요. (ax)′=axln⁡a(a^x)'=a^x\ln a 이므로

    v′=πxln⁡πv'=\pi^{x}\ln\pi

  4. 4

    곱의 미분법 u′v+uv′u'v+uv' 에 넣어요.

    f′(x)=πxπ−1⋅πx+xπ⋅πxln⁡πf'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi

답

f′(x)=πxπ−1⋅πx+xπ⋅πxln⁡πf'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi

자주 하는 실수

πx\pi^x 를 거듭제곱처럼 xπx−1x\pi^{x-1} 로 미분하거나, xπx^{\pi} 를 지수함수처럼 xπln⁡xx^{\pi}\ln x 로 미분해요.

원본 교재 풀이(영어)

πxπ−1⋅πx+xπ⋅πxln⁡π\pi {x}^{\pi -1}\cdot {\pi }^{x}+{x}^{\pi }\cdot {\pi }^{x}\ln \pi

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 3.9절 · 1번

다음 함수에 대하여 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=x2exf(x)=x^{2}e^{x}

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

f′(x)=2xex+x2exf'(x)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}

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# 지수함수와 로그함수의 미분계산보통

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