관련 변화율 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번

OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번우리말 풀이

구의 반지름이 초당 9 cm 의 비율로 늘어나고 있어요. 구의 부피와 반지름이 늘어나는 비율의 수치가 같아지는 순간의 구의 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere is increasing at a rate of 9 cm/sec. Find the radius of the sphere when the volume and the radius of the sphere are increasing at the same numerical rate.

답 쓰고 채점

풀이 보기

부피 공식 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 을 시간 $t$ 로 미분하면 두 변화율 사이의 관계가 나와요.

1
왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
2
양변을 시간 $t$ 로 미분해요. $r$ 은 $t$ 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$
3
주어진 값을 넣어요. $\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2$
4
두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. $\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}$
5
반지름은 양수이므로 $r=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}$

답

$\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$ cm

자주 하는 실수

미분하기 전에 $r=9$ 를 넣어 버려요. 변하는 양은 미분한 뒤에 값을 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번

버스 정류장이 있는 직각 모퉁이로 걸어가고 있어요. 당신은 초속 2 m 로 북쪽으로 움직이고 있고, 교차로에서 남쪽으로 20 m 떨어져 있어요. 버스는 교차로에서 멀어지며 초속 10 m 로 서쪽으로 가요. 버스를 놓쳤어요! 당신이 교차로에서 남쪽으로 20 m 에 있고 버스가 교차로에서 서쪽으로 10 m 에 있을 때, 당신과 버스 사이의 각이 변하는 비율은 얼마인가요?

다 풀었으면 정답 확인

$\dfrac{11}{25}$ rad/초

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 관련 변화율활용보통