관련 변화율

(a) 점이 $(0,-2)$ 에 있을 때, 점은 수평선을 따라 움직이고 있으므로 $y$좌표는 변하지 않는다. 따라서 점이 움직이는 빠르기는 단순히 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 이다. 관찰자가 점을 보기 위해 바라보는 각을 $\theta$ 라 하자. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 는 알고 있으므로, $\theta$ 와 $x$ 를 연결하는 방정식을 찾은 다음 $t$ 에 대하여 음함수 미분하는 것이 적절한 계획이다. 이를 위해 그림으로 돌아가 보자.

점이 $(0,-2)$ 의 약간 오른쪽에 있을 때, 그림과 같이 원점과 함께 삼각형을 만들 수 있다. 표시된 각을 $\theta$ 라 하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=1$ 라디안/초이다. (관찰자가 초당 1라디안으로 회전한다고 주어졌으므로, 이것이 $\theta$ 가 증가하는 빠르기이다.) 그림의 직각삼각형에서 다음을 알 수 있다. $$\tan\theta=\frac{x}{2}$$ 이제 미묘한 점 하나를 짚어야 한다. 우리가 그린 그림은 점이 $(0,-2)$ 의 약간 오른쪽에 있는 위치일 때만 의미가 있다. 따라서 지금까지는 오른쪽에서의 미분을 구하는 설정만 만든 셈이다. 그러나 조금 더 생각해 보면, $x$ 가 음수일 때(즉 점이 $(0,-2)$ 의 약간 왼쪽에 있을 때)에도 $\theta$ 를 주의해서 정의하면 이 식이 성립함을 알 수 있다. $\theta$ 를 점과 원점을 잇는 선분과 $y$축 사이의 각으로 하되, 점이 $y$축의 왼쪽에 있을 때는 $\theta$ 가 음수라고 하자.

점이 $y$축의 왼쪽에 있을 때 $x$ 와 $\theta$ 는 모두 음수이므로,

$$\begin{aligned} \tan|\theta|&=\frac{2}{|x|}\\ \tan(-\theta) &= \frac{-x}{2} \\ \text{그런데 $\tan(-\theta)=-\tan(\theta)$ 이므로:} \\ \tan\theta&=\frac{x}{2} \end{aligned}$$

따라서 점이 $(x,-2)$ 에 있을 때 $x$ 의 부호와 관계없이 $\tan\theta=\dfrac{x}{2}$ 가 성립함을 보였다.

계속해서, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 가 주어졌고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 를 구해야 하므로 $t$ 에 대하여 미분한다.

$$\begin{aligned} \sec^2\theta \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\ \text{점이 $(0,-2)$ 에 있을 때 관찰자가 초당 1라디안으로 회전하므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=1$ 이다. 또 그림에서 $\theta=0$ 이다. 이 값들을 대입하면:} \\ \sec^2\left(0\right)\cdot(1)&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ 1&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=2 \end{aligned}$$

따라서 점은 초당 2단위의 속력으로 움직인다.

(b) 점이 $(0,2)$ 에 있을 때, 점은 기울기가 $-\frac{1}{2}$ 이고 $y$절편이 $2$ 인 직선을 따라 움직이고 있다. 따라서 점은 직선 $$y=2-\frac{1}{2}x$$ 위에 있다. 즉 시각 $t$ 에서 점이 $(x(t),y(t))$ 에 있다면, $x(t)$ 와 $y(t)$ 는 $y(t)=2-\frac{1}{2}x(t)$ 를 만족시킨다. 이를 $t$ 에 대하여 음함수 미분하면: $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$ 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$ 일 때 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{1}{2}$ 이다. 즉 $y$좌표는 초당 $\dfrac{1}{2}$단위의 비율로 감소한다.

“점은 얼마나 빠르게 움직이는가?”라는 물음에 대해서는, 물체의 속도가 물체의 위치를 나타내는 식을 (시간에 대하여) 미분하여 구해진다는 점을 기억하자. 이 경우 복잡한 점은 (1) 물체의 위치가 시간의 함수로 주어져 있지 않고, (2) 물체의 위치가 1차원이 아니라 2차원($x$좌표와 $y$좌표)으로 주어져 있다는 것이다.

참고: 아래의 풀이는 사실 꽤 복잡하다. 스스로 알아낼 수 있는 수준이기는 하지만, 수학을 더 공부하다 보면 벡터를 이용한 더 쉬운 방법을 배우게 될 것이다. 지금은 비교적 어려운 연습 문제로 생각하고, 계속 공부할 동기로 삼자. 더 쉬운 방법이 있을 것이다라는 직관은 충분히 근거가 있다!

점은 직선을 따라 움직이고 있다. 따라서 복잡한 점 (2)를 해결하기 위해, 점의 위치를 직선 위의 한 점으로 나타낼 수 있다. 이 직선을 일종의 축으로 삼을 수 있다. 이 축에서 “원점”이 될 점을 하나 골라야 하는데, $(2,1)$ 이 편리한 점이다. $D$ 를 “축”을 따라 $(2,1)$ 로부터 잰 점의 (부호가 있는) 거리라 하자. 점이 $(2,1)$ 의 왼쪽으로 1단위 떨어져 있을 때는 $D=-1$ 이고, 점이 $(2,1)$ 의 오른쪽으로 1단위 떨어져 있을 때는 $D=1$ 이다. 그러면 $D$ 는 시간에 따라 변하고, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$ 는 점의 속도이다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 와 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 를 알고 있으므로, $x$, $y$, $D$ 를 연결하는 방정식을 찾아 $t$ 에 대하여 음함수 미분하는 것이 적절한 계획이다. (이 음함수 미분이 복잡한 점 (1)을 해결해 준다.) 피타고라스 정리를 이용하면:

$$\begin{aligned} D^2&=(x-2)^2+(y-1)^2 \\ \text{$t$ 에 대하여 미분하면:} \\ 2D\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2(x-2)\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2(y-1)\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \\ \text{$x=0$, $y=2$, $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{2}$, 그리고 $D=-\sqrt{(0-2)^2+(2-1)^2}=-\sqrt{5}$ (점이 $(2,1)$ 의 왼쪽에 있으므로 음수)를 대입하면:} \\ -2\sqrt{5}\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2(-2)(1)+2(1)\left(-\frac{1}{2}\right)\\ \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=\frac{\sqrt{5}}{2}~\text{단위/초} \end{aligned}$$