선형근사와 미분소 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.2절 · 4번

OpenStax 1권 · 4.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

선형 근사는 언제 정확한가요?

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When is the linear approximation exact?

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선형 근사는 $y=f(x)$ 가 일차함수이거나 상수함수일 때 정확하다.

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation exact when $y=f(x)$ is linear or constant.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 4번우리말 번역

높이 $x$ 미터의 절벽에서 물로 뛰어내릴 때, 물에 닿는 순간의 속력은 다음과 같이 주어진다. $s(x)=\sqrt{19.6x}~~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{sec}}$ 마지막 다이빙은 높이 4 미터에서 한 것이었다.

(a) $\Delta y$ 의 선형 근사를 이용하여, 높이 5 미터에서 뛰어내릴 때 물에 닿는 순간 얼마나 더 빠르게 떨어질지 어림하세요. (b) 한 다이버가 세 번 뛰어내린다. 첫 번째는 $x$ 미터에서, 두 번째는 $x+\Delta x$ 미터에서, 세 번째는 $x+2\Delta x$ 미터에서 뛰어내리며, $x$ 와 $\Delta x$ 는 고정된 양수이다. 첫 번째 점프에서 두 번째 점프로 갈 때의 종단 속력의 증가량과, 두 번째 점프에서 세 번째 점프로 갈 때의 종단 속력의 증가량 중 어느 쪽이 더 큰지 구하세요.

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(a)

$x$ 가 4 근처일 때, $\Delta y$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} \Delta y &\approx s'(4)\Delta x \\ \text{문제에서 $\Delta x= 5-4=1$ 이다. 미분하면,} \\ s'(t)&=\sqrt{19.6}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{\frac{4.9}{x}},\text{ 이므로 }\\ s'(4)&=\sqrt{\frac{4.9}{4}} \\ \text{선형 근사에 의하여} \\ \Delta y& \approx \sqrt{\frac{4.9}{4}}(1)\approx1.1 \end{aligned}$

따라서 4 미터에서 5 미터로 높이를 올리면 물에 닿는 순간의 속력은 약 1.1 미터/초 증가한다.

(b) 이번에도 선형 근사를 이용하면

$\begin{aligned} \Delta y &\approx s'(a)\Delta x\\ &=\sqrt{\frac{4.9}{a}}\cdot\Delta x \end{aligned}$

첫 두 점프 사이와 마지막 두 점프 사이의 높이 차이는 $\Delta x$ 로 같다. 첫 번째 점프의 처음 높이는 두 번째 점프의 처음 높이보다 낮다. 그러므로 $a$ 에 해당하는 값은 첫 번째 점프에서가 두 번째 점프에서보다 작다. 따라서 $\Delta y$ 는 첫 두 점프 사이에서가 마지막 두 점프 사이에서보다 크다. 즉, 첫 번째 점프에서 두 번째 점프로 갈 때의 속력 증가량이 두 번째 점프에서 세 번째 점프로 갈 때의 속력 증가량보다 크다.

이를 식으로 더 나타내면, 첫 두 점프 사이의 종단 속력의 변화는

$\begin{aligned} \Delta y &\approx \sqrt{\frac{4.9}{x}}\cdot\Delta x \\ \text{한편 다음 두 점프 사이의 종단 속력의 변화는} \\ \Delta y &\approx \sqrt{\frac{4.9}{x+\Delta x}}\cdot\Delta x \end{aligned}$

$x$ 와 $\Delta x$ 가 양수일 때 $\sqrt{\dfrac{4.9}{x}}\cdot\Delta x> \sqrt{\dfrac{4.9}{x+\Delta x}}\cdot\Delta x$ 이므로, 종단 속력의 변화는 첫 두 점프 사이에서가 다음 두 점프 사이에서보다 크다.

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# 선형근사와 미분소계산자동 분류