롤의 정리와 평균값 정리

$f(x)=\dfrac{x}{2}+\sin x$ 가 어떤 구간에서 일대일함수이면, 그 구간의 서로 다른 두 수에서 같은 값을 갖지 않는다. 롤의 정리에 의해, 서로 다른 $a$, $b$ 에 대해 $f(a)=f(b)$ 이면 $a$ 와 $b$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다. $f'(x)=\frac{1}{2}+\cos x$ 이므로, 어떤 정수 $n$ 에 대해 $x=2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}$ 일 때 $f'(x)=0$ 이다. 따라서 특히 $a$ 와 $b$ 가 구간 $\left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$ 의 서로 다른 수이면, $a$ 와 $b$ 사이에 있는 모든 $c$ (양 끝은 제외)에 대해 $f'(c) \neq 0$ 이므로 롤의 정리에 의해 $f(a) \neq f(b)$ 이다. 그러므로 $f(x)$ 는 구간 $\left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$ 에서 일대일함수이다.

또한 구간 $\left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$ 을 더 넓혀서 $f(x)$ 가 여전히 일대일함수가 되도록 할 수는 없음을 보여야 한다. 도함수 $f'(x) = \frac{1}{2}+\cos x$ 를 생각하자. $-\frac{2\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3}$ 인 모든 $x$ 에 대해 $\cos x > -\frac{1}{2}$ 이므로 ($\cos x$ 의 그래프를 직접 그려 보세요) $f'(x)>0$ 이고 $f(x)$ 는 증가한다. 그러나 $x=\frac{2\pi}{3}$ 에서 $f'(x)=0$ 이고, $x$ 가 $\frac{2\pi}{3}$ 보다 조금 크면 $\cos x < -\frac{1}{2}$ 이므로 $f'(x)<0$ 이고 $f(x)$ 는 감소한다. 따라서 그래프가 “방향을 바꾸어” $f(x)$ 는 같은 값을 다시 갖는다. ($y=f(x)$ 의 그래프를 아래에서 보세요.) $x$ 가 $-\frac{2\pi}{3}$ 보다 조금 작은 경우에도 마찬가지이다.

역함수 $f^{-1}(x)$ 를 정의할 때, 먼저 $f$ 를 $\left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$ 로 제한한다. 그러면 $f^{-1}$ 의 치역도 $\left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$ 이다. $f^{-1}$ 의 정의역은 이 구간에서 $f$ 의 치역이므로 $\left[-\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]$ 이다.