롤의 정리와 평균값 정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.4절 · 32번

OpenStax 1권 · 4.4절 · 32번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 구간 $[a,b]$ 에서 다음 함수에 평균값 정리를 적용할 수 있는지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$y=\ln (x+1)$ ( $[0,e-1]$ 에서)

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For the following exercises, determine whether the Mean Value Theorem applies for the functions over the given interval $[a,b].$ Justify your answer.

$y=\ln (x+1)$ over $[0,e-1]$

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한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.13절 · 19번우리말 번역

$f(x)=2x+\sin x$ 라 하자. $x=0$ 을 포함하는 구간 중 $f(x)$ 가 일대일함수인 가장 큰 구간을 구하세요. $f^{-1}(x)$ 의 정의역과 치역을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$2x+\sin x$ 가 어떤 구간에서 일대일함수이면, 그 구간 안의 서로 다른 두 수에 대해 같은 값을 갖지 않는다. 롤의 정리에 의해, 서로 다른 $a$ 와 $b$ 에 대해 $f(a)=f(b)$ 이면 $a$ 와 $b$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다. 그런데 $f'(x)=2+\cos x$ 는 결코 0이 되지 않는다. 실제로 모든 $x$ 에 대해 $f'(x)\ge 1$ 이므로 $f(x)$ 는 정의역 전체에서 엄격하게 증가한다. 따라서 함수 $f$ 는 같은 값을 두 번 갖는 일이 결코 없으므로, 모든 실수 $(-\infty,\infty)$ 에서 일대일함수이다.

역함수 $f^{-1}(x)$ 를 정의할 때, $f$ 의 정의역은 $f^{-1}$ 의 치역이고 그 반대도 마찬가지이다. 일반적으로는 $f$ 의 정의역(따라서 $f^{-1}$ 의 치역)을 $f$ 가 일대일함수인 구간으로 제한해야 할 수도 있지만, 이 경우에는 그럴 필요가 없다. 그러므로 $f^{-1}$ 의 치역은 $(-\infty,\infty)$ 이고, $f^{-1}$ 의 정의역은 $f$ 의 치역인 $(-\infty,\infty)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 롤의 정리와 평균값 정리증명·논술자동 분류