롤의 정리와 평균값 정리

방정식 $e^x = 4\cos(2x)$ 의 양의 해의 개수를 구하려고 한다. 아래 그림은 $y=e^x$ 와 $y= 4\cos(2x)$ 의 그래프이다. $e^x = 4\cos(2x)$ 의 해는 $y=e^x$ 와 $y= 4\cos(2x)$ 가 만나는 점의 $x$ 값과 정확히 같다.

$x\ge 0$ 에서 두 그래프는 정확히 한 번 만나는 것으로 보이며, 그 교점은 $x=0$ 과 $x=1$ 사이에 있다. 실제로 $\big[e^x- 4\cos(2x)\big]_{x=0} = -3<0$ 이고 $\big[e^x- 4\cos(2x)\big]_{x=1} > e > 0$ 이며 $f(x)=e^x- 4\cos(2x)$ 는 연속이므로, 사잇값 정리에 의해 $0<x<1$ 에서 적어도 하나의 근이 존재한다.

그래프가 정확하지 않더라도 두 번째 근이 없음을 보여야 한다.

코사인 함수의 치역이 $[-1,1]$ 임을 떠올리자. $e^x=4\cos(2x)$ 이면 $e^x \leq 4$ 이므로 $x \leq \log(4)\approx 1.39$ 이다. 따라서 $f(x)$ 의 근은 구간 $(0,1.4)$ 에서만 찾으면 되고, 그 밖에는 근이 없음이 보장된다. 이 구간에서 $2x \in (0,2.8)$ 이므로 $\sin(2x)>0$ 이고, 따라서 $f'(x)=e^x+8\sin(2 x)>0$ 이다. $f'(x)$ 는 $(0,1.4)$ 에서 근을 갖지 않으므로, 롤의 정리에 의해 $f(x)$ 는 $(0,1.4)$ 에서 근을 많아야 하나 가진다(따라서 양의 근은 전체에서 많아야 하나이다). 앞에서 $f(x)$ 의 근이 $(0,1)$ 에 존재함을 이미 보였으므로, $e^x=4\cos(2x)$ 는 양의 해를 정확히 하나 가진다.