이계도함수와 오목·볼록 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.5절 · 42번

OpenStax 1권 · 4.5절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록한 구간과 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선을 그린 다음 계산기로 답을 비교해 보세요. 정확한 답을 식으로 구할 수 없으면 계산기를 쓰세요.

[계산기 사용] $f(x)=\frac{1}{1-x},x\ne 1$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

[T] $f(x)=\frac{1}{1-x},x\ne 1$

풀이 보기

$f'$ 의 부호로 증가·감소를, $f''$ 의 부호로 오목·볼록을 보되, $x=1$ 은 정의역에 없다는 점을 꼭 챙겨요.

1
왜 이렇게 할까요? 증가·감소는 $f'$ 의 부호, 오목·볼록은 $f''$ 의 부호로 알 수 있어요. 먼저 두 도함수를 구해요.
2
일계도함수. $f(x)=(1-x)^{-1}$ 이므로 $f'(x)=(1-x)^{-2}=\frac{1}{(1-x)^2}$ 분모가 제곱이라 $x\ne1$ 인 모든 $x$ 에서 $f'(x)>0$ 이에요. 따라서 $f$ 는 정의된 모든 곳에서 증가하고, $f'=0$ 이 되는 점이 없으니 극값도 없어요.
3
이계도함수. $f''(x)=\frac{2}{(1-x)^3}$ 분자는 양수이므로 부호는 $(1-x)^3$ 이 정해요. $x<1$ 이면 $1-x>0$ 이라 $f''>0$ (아래로 볼록), $x>1$ 이면 $1-x<0$ 이라 $f''<0$ (위로 볼록) 이에요.
4
변곡점을 따져요. $f''$ 의 부호가 $x=1$ 에서 바뀌지만, $x=1$ 은 정의역에 없어서 곡선 위의 점이 아니에요(수직 점근선). 그래서 변곡점은 없어요.
5
그래프 모양. $x=1$ 이 수직 점근선이고 $y=0$ 이 수평 점근선이에요. 왼쪽 가지는 위로 올라가다 아래로 볼록하고, 오른쪽 가지는 음수 쪽에서 올라가며 위로 볼록해요.

답

(a) 정의된 모든 $x$ 에서 증가 (b) 극값 없음 (c) $x<1$ 에서 아래로 볼록, $x>1$ 에서 위로 볼록 (d) 정의역 안에 변곡점 없음

자주 하는 실수

$f''$ 의 부호가 바뀌는 $x=1$ 을 변곡점이라고 답해요. 정의역에 없는 점은 변곡점이 될 수 없어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. Increasing for all $x$ where defined b. No local minima or maxima c. Concave up for $x<1;$ concave down for $x>1$ d. No inflection points in domain

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.14절 · 20번우리말 번역

$f(x)$ 가 처음 $n$ 계 도함수까지 모든 실수에서 존재하는 함수이고, $f^{(n)}(x)$ 가 근을 정확히 $m$ 개 갖는다고 하자. 이때 $f(x)$ 가 가질 수 있는 근의 최대 개수를 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 는 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이기도 하다. 마찬가지로 $f'(x)$ 도 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이고, $f(x)$ 의 처음 $n$ 계 도함수까지 같은 방식으로 계속된다.

롤의 정리에 따르면, $a$ 와 $b$ 가 함수 $g$ 의 서로 다른 근이면 $(a,b)$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $g'(x)=0$ 이다. 즉 $g'$ 은 $a$ 와 $b$ 사이에 근을 갖는다. 이 생각을 확장하면, $g$ 가 서로 다른 근을 $m+1$ 개 가질 때 $g'$ 은 서로 다른 근을 적어도 $m$ 개 가져야 한다. 아래의 그래프가 그 예이다.

따라서 $f^{(n)}(x)$ 의 근이 $m$ 개뿐이면 $f^{(n-1)}(x)$ 의 근은 많아야 $m+1$ 개이다. 마찬가지로 $f^{(n-1)}(x)$ 의 근이 많아야 $m+1$ 개이므로 $f^{(n-2)}(x)$ 의 근은 많아야 $m+2$ 개이다. 이와 같이 계속하면 $f(x)=f^{(n-n)}(x)$ 는 서로 다른 근을 많아야 $m+n$ 개 가진다.

이 문제로 이어서 풀기

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석보통