무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번

OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번우리말 풀이

다음 문제에서 수평점근선과 수직점근선을 구하세요.

$f(x)=\sin (x)\sin (2x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the horizontal and vertical asymptotes.

$f(x)=\sin (x)\sin (2x)$

풀이 보기

수평점근선은 $x\to\pm\infty$ 에서 함수가 한 값에 다가갈 때만, 수직점근선은 어떤 점에서 함숫값이 무한대로 갈 때만 생겨요.

1
수직점근선을 찾아요. $\sin x$ 와 $\sin 2x$ 는 모든 실수에서 연속이고 값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 있어서 곱도 어디서나 유한한 값이에요. 값이 무한대로 가는 점이 없으니 수직점근선은 없어요.
2
수평점근선을 찾으려면 $x\to\infty$ 에서 한 값에 다가가는지 확인해요. 사인 함수는 계속 진동하기만 하고 어느 값으로 모이지 않아요. 예를 들어 $x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$ 이면 $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin 2x=1$ 이라 $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고, $x=n\pi$ 이면 $\sin x=0$ 이라 $f(x)=0$ 이에요.
3
결론을 내려요. $x$ 가 커져도 $f(x)$ 가 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 와 $0$ 을 번갈아 되풀이해서 어떤 하나의 값으로 다가가지 않아요. $x\to-\infty$ 일 때도 마찬가지예요. 따라서 수평점근선도 없어요.

답

수평점근선: 없음, 수직점근선: 없음

자주 하는 실수

함숫값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 갇혀 있으니 $y=0$ 이 수평점근선이라고 생각해요. 점근선이 되려면 그 값에 한없이 가까워져야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal: none, vertical: none

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 $x=[-5,5]$ 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\dfrac{1}{x+10}$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$