무한대에서의 극한과 점근선 연습문제 — OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번

OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번우리말 풀이

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 $x=[-5,5]$ 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\dfrac{1}{x+10}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window $x=[-5,5]$ and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

[T] $f(x)=\frac{1}{x+10}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x\to\infty$ 일 때 분모가 한없이 커지므로 $f(x)\to0$ 이고, 수평점근선은 $y=0$ 이에요.

1
창 안에서 어림해요. $-5\le x\le5$ 에서 $f(x)$ 는 $\dfrac{1}{5}$ 에서 $\dfrac{1}{15}$ 사이의 양수 값이에요. $0$ 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.
2
실제 극한을 계산해요. $x\to\infty$ 이면 $x+10\to\infty$ 이므로 $\dfrac{1}{x+10}\to0$ 이에요. $x\to-\infty$ 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 $0$ 에 가까워져요.
3
점근선을 말해요. 극한이 $0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$ 이에요. (참고로 $x=-10$ 에서는 분모가 $0$ 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

답

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$

자주 하는 실수

주어진 창 안의 그래프만 보고 점근선이 없다고 하거나 $x=-10$ 의 수직점근선을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=0$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 1.5절 · 26번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{2x+8}{\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x^2-9}}$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x=3$ 은 이 함수의 정의역에 속하지 않으므로, 문제가 되는 항을 약분할 수 있기를 기대하며 식을 간단히 한다.

$\begin{aligned} \lim_{x \to 3}\frac{2x+8}{\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x^2-9}}&=\lim_{x \to 3}\frac{2x+8}{\frac{x+3}{x^2-9}+\frac{1}{x^2-9}}\\ &=\lim_{x \to 3}\frac{2x+8}{\frac{x+4}{x^2-9}}\\ &=\lim_{x \to 3}\frac{(2x+8)(x^2-9)}{x+4}=0 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본