최댓값·최솟값과 최적화

철사의 길이를 $L$ 단위라 하고, 한쪽 끝에서 $\ell$ 단위만큼 떨어진 곳을 자른다고 하자. 길이가 $\ell$ 인 조각으로 정사각형을 만들고, 나머지 길이가 $L-\ell$ 인 조각으로 원을 만든다.

정사각형의 둘레가 $\ell$ 이므로 한 변의 길이는 $\ell/4$ 이고 넓이는 $\left(\dfrac{\ell}{4}\right)^2$ 이다. 원의 둘레가 $L-\ell$ 이므로 반지름은 $\dfrac{L-\ell}{2\pi}$ 이고 넓이는 $\pi\left(\dfrac{L-\ell}{2\pi}\right)^2=\dfrac{(L-\ell)^2}{4\pi}$ 이다.

정사각형을 길이 $\ell$ 인 조각으로 만들 때 두 도형으로 둘러싸인 넓이는

$$\begin{aligned} A(\ell)&=\dfrac{\ell^2}{16}+\dfrac{(L-\ell)^2}{4\pi} \\ \text{조건 $0 \leq \ell \leq L$ 에서 이 함수의 전체 최댓값과 최솟값을 구해야 하므로 도함수를 구한다:} \\ A'(\ell)&=\dfrac{\ell}{8} -\dfrac{L-\ell}{2\pi} =\dfrac{\pi+4}{8\pi}\ell-\dfrac{L}{2\pi} \\ \text{이제 임계점을 구한다.} \\ A'(\ell)&=0\\ \frac{\pi+4}{8\pi}\ell&=\frac{L}{2\pi}\\ \ell&=\frac{4L}{\pi+4} \end{aligned}$$

$$\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline \ell & 0 & L & \dfrac{.^.}{.}\frac{4L}{\pi+4} \\ \hline \text{종류} & \text{끝점} & \text{끝점} & \text{임계점} \\ \hline A(\ell) & \dfrac{.^.}{.}\frac{L^2}{4\pi} & \frac{L^2}{16}_{} & A\left(\frac{4L}{\pi+4}\right) \\ \hline \end{array}$$

$A\left(\frac{4L}{\pi+4}\right)$ 의 값을 계산하는 것은 번거로워 보이고 문제에서 요구하지도 않는다. 그러나 이것이 전체 최댓값인지 최솟값인지는 따져 보아야 한다.

$\ell<\frac{4L}{\pi+4}$ 일 때 $A'(\ell)<0$ 이고, $\ell>\frac{4L}{\pi+4}$ 일 때 $A'(\ell)>0$ 이다. 따라서 $A(\ell)$ 은 $\ell=\frac{4L}{\pi+4}$ 까지 감소하다가 그 뒤로 증가한다. 즉 임계점 $\ell=\frac{4L}{\pi+4}$ 에서 극솟값을 갖는다.

그러므로 최솟값은 유일한 임계점인 $\ell=\left(\dfrac{4}{4+\pi}\right)L$ 에서 생긴다. 이는 $\dfrac{\ell}{L}=\dfrac{4}{4+\pi}$ 에 해당한다. 즉 정사각형을 만드는 철사 조각의 비율은 $\dfrac{4}{4+\pi}$ 이다.

최댓값은 $\ell=0$ 또는 $\ell=L$ 에서 생겨야 한다. $A(0)=\dfrac{L^2}{4\pi} > A(L)=\dfrac{L^2}{16}$ 이므로 최댓값은 $\ell=0$ 에서 생긴다(즉, 정사각형을 만들지 않는다).