로피탈 정리

분모에 $x=0$ 을 대입하면 1이다. 그러나 분자는 부정형이다. $\tan 0 =0$ 이지만 $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}\csc x=\infty$ 이고 $\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\csc x=-\infty$ 이기 때문이다. $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ 를 쓰면 주어진 식은 다음과 같이 된다.

$$\begin{aligned} \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}& \\ \text{$x=0$ 을 대입하면 분자와 분모가 모두 0이 되므로 로피탈 법칙을 쓸 수 있는 후보이다. 그러나 먼저 삼각함수를 간단히 하는 것이 훨씬 쉬운 방법이다.} \\ \lim_{x\to0}\frac{\tan x\cdot (x^2+5)}{\sin x \cdot e^x}&= \lim_{x\to0}\frac{\sin x\cdot (x^2+5)}{\cos x \cdot\sin x \cdot e^x}\\&= \lim_{x\to0}\frac{x^2+5}{\cos x \cdot e^x}\\ &=\frac{0^2+5}{\cos(0)\cdot e^0}=5 \end{aligned}$$