정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 60번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 60번우리말 번역

다음 연습문제에서, 리만 합 L₁₀₀ 과 R₁₀₀ 을 이용하여 평균값을 어림하세요. 여러분의 답은 주어진 정확한 답과 어떻게 비교되는지 설명하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y=\frac{x+1}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$ 이고, 정확한 해는 $\frac{\pi }{6}$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, approximate the average value using Riemann sums L₁₀₀ and R₁₀₀. How does your answer compare with the exact given answer?

[T] $y=\frac{x+1}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$ over the interval $[-1,1];$ the exact solution is $\frac{\pi }{6}.$

정답·풀이 보기

${L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=0.5178,{R}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=0.5294$

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=0.5178,{R}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=0.5294$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 76번우리말 번역

$1\le i\le N$ 인 각 i 에 대해 ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt={i}^{2}$ 라고 하자. ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ 임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{i}^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$