정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 76번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 76번우리말 번역

$1\le i\le N$ 인 각 i 에 대해 ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt={i}^{2}$ 라고 하자. ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose that for each i such that $1\le i\le N$ one has ${\int }_{i-1}^{i}f(t)dt={i}^{2}.$ Show that ${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{i}^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{N}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{\int }_{i-1}^{i}f(t)dt=\sum_{i=1}^{N}{i}^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 84번우리말 번역

f 가 주기가 1인 함수이고 ${\int }_{0}^{1}f(t)dt=A$ 이면, 모든 A 에 대해 ${\int }_{a}^{1+a}f(t)dt=A$ 가 반드시 성립하나요?

다 풀었으면 정답 확인

예. 길이가 1인 임의의 구간에서의 적분값은 같다.