정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 62번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 62번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,2]$ 에서 $y=x{e}^{{x}^{2}}$ 이고, 정확한 값은 $\frac{1}{4}({e}^{4}-1)$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

[T] $y=x{e}^{{x}^{2}}$ over the interval $[0,2];$ the exact solution is $\frac{1}{4}({e}^{4}-1).$

정답·풀이 보기

${L}_{1}=0,{L}_{10}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=8.743493,{L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=12.861728$ . 정확한 값은 $\approx 26.799$ 이므로 L₁₀₀ 은 정확하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{1}=0,{L}_{10}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=8.743493,{L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{2}\right)=12.861728.$ The exact answer $\approx 26.799,$ so L₁₀₀ is not accurate.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 74번우리말 번역

$[a,b]$ 를 분할할 수 있어서, $a={a}_{0}<{a}_{1}<\cdots <{a}_{N}=b$ 로 잡을 때 각 $i=1,\ldots ,\,N$ 에 대해 각 부분구간 $[{a}_{i-1},{a}_{i}]=1$ 에서 f 의 평균값이 1과 같다고 하자. $[a,b]$ 에서 f 의 평균값도 1과 같은 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

어떤 구간에서 f 의 적분은 그 구간에서 f 의 평균값의 적분과 같다. 따라서 $\begin{array}{c}{\int }_{a}^{b}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}f(t)dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}f(t)dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}1dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}1dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}1dt \\ =({a}_{1}-{a}_{0})+({a}_{2}-{a}_{1})+\cdots +({a}_{N}-{a}_{N-1})={a}_{N}-{a}_{0}=b-a.\end{array}$ 양변을 $b-a$ 로 나누면 구하는 등식을 얻는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류