정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 74번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 74번우리말 번역

$[a,b]$ 를 분할할 수 있어서, $a={a}_{0}<{a}_{1}<\cdots <{a}_{N}=b$ 로 잡을 때 각 $i=1,\ldots ,\,N$ 에 대해 각 부분구간 $[{a}_{i-1},{a}_{i}]=1$ 에서 f 의 평균값이 1과 같다고 하자. $[a,b]$ 에서 f 의 평균값도 1과 같은 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $[a,b]$ can be partitioned. taking $a={a}_{0}<{a}_{1}<\cdots <{a}_{N}=b$ such that the average value of f over each subinterval $[{a}_{i-1},{a}_{i}]=1$ is equal to 1 for each $i=1,\ldots ,\,N.$ Explain why the average value of f over $[a,b]$ is also equal to 1.

정답·풀이 보기

어떤 구간에서 f 의 적분은 그 구간에서 f 의 평균값의 적분과 같다. 따라서 $\begin{array}{c}{\int }_{a}^{b}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}f(t)dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}f(t)dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}1dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}1dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}1dt \\ =({a}_{1}-{a}_{0})+({a}_{2}-{a}_{1})+\cdots +({a}_{N}-{a}_{N-1})={a}_{N}-{a}_{0}=b-a.\end{array}$ 양변을 $b-a$ 로 나누면 구하는 등식을 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral of f over an interval is the same as the integral of the average of f over that interval. Thus, $\begin{array}{c}{\int }_{a}^{b}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}f(t)dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}f(t)dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}f(t)dt={\int }_{{a}_{0}}^{{a}_{1}}1dt+{\int }_{{a}_{1}}^{{a}_{2}}1dt+\cdots +{\int }_{{a}_{N+1}}^{{a}_{N}}1dt \\ =({a}_{1}-{a}_{0})+({a}_{2}-{a}_{1})+\cdots +({a}_{N}-{a}_{N-1})={a}_{N}-{a}_{0}=b-a.\end{array}$ Dividing through by $b-a$ gives the desired identity.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 82번우리말 번역

주어진 $\sin (2\pi x)$ 의 그래프를 보고 다음을 설명하세요.

a. ${\int }_{0}^{1}\sin (2\pi t)dt=0$ 인 이유를 설명하세요. b. 일반적으로 임의의 a 의 값에 대해 ${\int }_{a}^{a+1}\sin (2\pi t)dt=0$ 인 이유를 설명하세요. (0, 2) 에서 함수 f(x) = sin(2pi*x) 의 그래프이다. 구간 (.7, 1) 에서는 곡선 위쪽과 x축 아래쪽 사이가, 구간 (1,1.5) 에서는 곡선 아래쪽과 x축 위쪽 사이가, 구간 (1.5, 1.7) 에서는 곡선 위쪽과 x축 아래쪽 사이가 색칠되어 있다. 이 그래프는 (0,1) 에서 t = ½ 에 대해 반대칭이다.

다 풀었으면 정답 확인

a. 그래프는 $[0,1]$ 에서 $t=\frac{1}{2}$ 에 대해 반대칭이므로 평균값이 0이다. b. a 의 값이 무엇이든 $[a,a+1]$ 에서의 그래프는 $[0,1]$ 에서의 그래프를 평행이동한 것이므로, 축 위쪽과 아래쪽의 순넓이가 변하지 않아 평균값은 여전히 0이다.

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# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류