정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 64번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 64번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-\pi ,0]$ 에서 $y=x\sin ({x}^{2})$ 이고, 정확한 값은 $\frac{\cos ({\pi }^{2})-1}{2\pi }$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

[T] $y=x\sin ({x}^{2})$ over the interval $[-\pi ,0];$ the exact solution is $\frac{\cos ({\pi }^{2})-1}{2\pi }.$

정답·풀이 보기

${L}_{1}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=1.352,{L}_{10}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=-0.1837,{L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=-0.2956$ . 정확한 값은 $\approx -0.303$ 이므로 L₁₀₀ 은 소수 첫째 자리까지도 정확하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{1}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=1.352,{L}_{10}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=-0.1837,{L}_{100}\,\times \,\left(\frac{1}{\pi }\right)=-0.2956.$ The exact answer $\approx -0.303,$ so L₁₀₀ is not accurate to first decimal.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽 부분의 넓이는 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분의 값을 구하세요.

색칠된 삼각형 세 개가 있는 그래프이다. 첫 번째는 꼭짓점이 (0, 0), (2, 0), (1, 1)이며 (0, 2)에서 함수 1 - |x-1|에 해당한다. 두 번째는 꼭짓점이 (2, 0), (6, 0), (4, -2)이며 (2, 6)에서 함수 |x-4| - 2에 해당한다. 세 번째는 꼭짓점이 (6, 0), (12, 0), (9, 3)이며 (6, 12)에서 함수 3 - |x-9|에 해당한다.

다 풀었으면 정답 확인

$1-4+9=6$

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류