정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 66번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 66번우리말 번역

다음 연습문제에서, $N=1,10,100$ 에 대해 왼쪽 리만 합 L_N 을 이용하여 평균값을 계산하세요. 정확도를 주어진 정확한 값과 비교하세요.

$A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\sec }^{2}tdt=\pi$ 이고 $B={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\tan }^{2}tdt$ 라고 하자. $A-B=\frac{\pi }{2}$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the average value using the left Riemann sums L_N for $N=1,10,100.$ How does the accuracy compare with the given exact value?

Suppose that $A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\sec }^{2}tdt=\pi$ and $B={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}{\tan }^{2}tdt.$ Show that $A-B=\frac{\pi }{2}.$

정답·풀이 보기

${\tan }^{2}\theta +1={\sec }^{2}\theta$ 를 이용한다. 그러면 $B-A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}1dx=\frac{\pi }{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Use ${\tan }^{2}\theta +1={\sec }^{2}\theta .$ Then, $B-A={\int }_{-\pi /4}^{\pi /4}1dx=\frac{\pi }{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.4절 · 19번우리말 번역

입자가 직선 위를 움직이고, 속도가 $v(t)=|2t-6|,$ ( $0\le t\le 6$ , 단위는 미터/초)로 정의된다고 하자. 시각 t 에서의 변위와 $t=6$ 까지 이동한 총 거리를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds$ . 다음 구간에서 $t<3,d(t)={\int }_{0}^{t}(6-2t)dt=6t-{t}^{2}$ . 또 다음 구간에서 $t>3,d(t)=d(3)+{\int }_{3}^{t}(2t-6)dt=9+({t}^{2}-6t){|}_{3}^{6}$ .

총 거리는 $d(6)=18\,\text{m}$ 이다.

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