정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.4절 · 19번

OpenStax 1권 · 5.4절 · 19번우리말 번역

입자가 직선 위를 움직이고, 속도가 $v(t)=|2t-6|,$ ( $0\le t\le 6$ , 단위는 미터/초)로 정의된다고 하자. 시각 t 에서의 변위와 $t=6$ 까지 이동한 총 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity defined by $v(t)=|2t-6|,$ where $0\le t\le 6$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=6.$

정답·풀이 보기

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds$ . 다음 구간에서 $t<3,d(t)={\int }_{0}^{t}(6-2t)dt=6t-{t}^{2}$ . 또 다음 구간에서 $t>3,d(t)=d(3)+{\int }_{3}^{t}(2t-6)dt=9+({t}^{2}-6t){|}_{3}^{6}$ .

총 거리는 $d(6)=18\,\text{m}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds.$ For $t<3,d(t)={\int }_{0}^{t}(6-2t)dt=6t-{t}^{2}.$ For $t>3,d(t)=d(3)+{\int }_{3}^{t}(2t-6)dt=9+({t}^{2}-6t){|}_{3}^{6}.$

The total distance is $d(6)=18\,\text{m}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽의 넓이는 빼서, 그래프로 나타낸 함수의 적분의 값을 구하세요.

색칠된 부분이 세 개인 그래프이다. 첫 번째는 꼭짓점이 (0, 0), (2, 0), (1, 1)인 삼각형으로, 제1사분면에서 구간 (0, 2)에서의 함수 1 - |x-1|에 해당한다. 두 번째는 중심이 (4, 0)이고 반지름이 2인 원의 아랫반쪽으로, 구간 (2, 6)에서의 함수 –(−12 + 8x – x^2의 제곱근)에 해당한다. 마지막은 꼭짓점이 (6, 0), (12, 0), (9, 3)인 삼각형으로, 구간 (6, 12)에서의 함수 3 - |x-9|에 해당한다.

다 풀었으면 정답 확인

$1-2\pi +9=10-2\pi$

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