정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 68번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 68번우리말 번역

${\cos }^{2}t$ 의 $[0,2\pi ]$ 에서의 평균값이 $1/2$ . 임을 보이세요. 추가 계산 없이, ${\cos }^{2}(t)$ 의 $[0,\pi ]$ 에서의 평균값도 $1/2$ . 인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Show that the average value of ${\cos }^{2}t$ over $[0,2\pi ]$ is equal to $1/2.$ Without further calculation, determine whether the average value of ${\cos }^{2}(t)$ over $[0,\pi ]$ is also equal to $1/2.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi$ 이므로 구간의 길이 2π 로 나눈다. ${\cos }^{2}t$ 의 주기는 π 이므로 예, 참이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{2\pi }{\cos }^{2}tdt=\pi ,$ so divide by the length 2π of the interval. ${\cos }^{2}t$ has period π, so yes, it is true.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해 $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고, 알맞은 구간을 밝히세요.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{i}{n}\right)\log \left({\left(1+\frac{i}{n}\right)}^{2}\right)$

다 풀었으면 정답 확인

${\int }_{1}^{2}x\log ({x}^{2})dx$

이 문제로 이어서 풀기

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