정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 70번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 70번우리말 번역

포물선 $p(x)=a{x}^{2}+bx+c$ 가 위로 볼록하며 $(a<0)$ 꼭짓점이 $y=\frac{-b}{2a}>0$ 이라고 하겠습니다. 어떤 구간 $[A,B]$ 에서 ${\int }_{A}^{B}(a{x}^{2}+bx+c)dx$ 의 값이 가장 클까요?

영어 원문 보기

Suppose that parabola $p(x)=a{x}^{2}+bx+c$ opens downward $(a<0)$ and has a vertex of $y=\frac{-b}{2a}>0.$ For which interval $[A,B]$ is ${\int }_{A}^{B}(a{x}^{2}+bx+c)dx$ as large as possible?

정답·풀이 보기

$p$ 가 음이 아닌 가장 큰 구간을 사용할 때 적분값이 최대가 된다. 따라서 $A=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$ 이고 $B=\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integral is maximized when one uses the largest interval on which p is nonnegative. Thus, $A=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$ and $B=\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.4절 · 11번우리말 번역

정십이면체는 넓이가 모두 같은 12개의 오각형으로 이루어진 겉면을 가진 플라톤 입체입니다. 각 오각형의 한 변의 길이가 1 단위에서 2 단위로 두 배가 될 때, 정십이면체의 겉넓이는 얼마나 증가하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

p 를 이전 연습문제에서와 같이 두면, 12개의 오각형 각각의 넓이는 2p 에서 4p 단위로 증가하므로 정십이면체의 넓이의 순증가량은 36p 단위이다.

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