정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.2절 · 82번

OpenStax 1권 · 5.2절 · 82번우리말 번역

주어진 $\sin (2\pi x)$ 의 그래프를 보고 다음을 설명하세요.

a. ${\int }_{0}^{1}\sin (2\pi t)dt=0$ 인 이유를 설명하세요. b. 일반적으로 임의의 a 의 값에 대해 ${\int }_{a}^{a+1}\sin (2\pi t)dt=0$ 인 이유를 설명하세요. (0, 2) 에서 함수 f(x) = sin(2pi*x) 의 그래프이다. 구간 (.7, 1) 에서는 곡선 위쪽과 x축 아래쪽 사이가, 구간 (1,1.5) 에서는 곡선 아래쪽과 x축 위쪽 사이가, 구간 (1.5, 1.7) 에서는 곡선 위쪽과 x축 아래쪽 사이가 색칠되어 있다. 이 그래프는 (0,1) 에서 t = ½ 에 대해 반대칭이다.

영어 원문 보기

From the graph of $\sin (2\pi x)$ shown:

a. Explain why ${\int }_{0}^{1}\sin (2\pi t)dt=0.$ b. Explain why, in general, ${\int }_{a}^{a+1}\sin (2\pi t)dt=0$ for any value of a. A graph of the function f(x) = sin(2pi*x) over (0, 2). The function is shaded over (.7, 1) above the curve and below to x axis, over (1,1.5) under the curve and above the x axis, and over (1.5, 1.7) above the curve and under the x axis. The graph is antisymmetric with respect o t = ½ over (0,1).

정답·풀이 보기

a. 그래프는 $[0,1]$ 에서 $t=\frac{1}{2}$ 에 대해 반대칭이므로 평균값이 0이다. b. a 의 값이 무엇이든 $[a,a+1]$ 에서의 그래프는 $[0,1]$ 에서의 그래프를 평행이동한 것이므로, 축 위쪽과 아래쪽의 순넓이가 변하지 않아 평균값은 여전히 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. The graph is antisymmetric with respect to $t=\frac{1}{2}$ over $[0,1],$ so the average value is zero. b. For any value of a, the graph between $[a,a+1]$ is a shift of the graph over $[0,1],$ so the net areas above and below the axis do not change and the average remains zero.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.2절 · 80번우리말 번역

각각 직사각형 하나를 사용한 왼쪽 끝점 합과 오른쪽 끝점 합을 이용하여 ${\int }_{0}^{1}tdt$ 를 어림하세요. 이 왼쪽 끝점 합과 오른쪽 끝점 합의 평균은 실제 값 ${\int }_{0}^{1}tdt$ 와 비교하면 어떠한지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

평균은 $1/2$ 이고, 이 경우 적분값과 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류