미적분의 기본정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.3절 · 18번

OpenStax 1권 · 5.3절 · 18번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 f 는 구간별 상수 함수이다.

선분으로 이루어진 함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2), (6, 0)을 지난다. 구간 (0, 1.5)와 (3.25, 6)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (1.5, 3.25)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. f 가 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. f 의 최댓값과 최솟값을 구하세요. c. f 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}f(t)dt,$ where f is a piecewise constant function, is shown here.

A graph of a function with linear segments that goes through the points (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2), and (6, 0). The area over the function but under the x axis over the interval (0, 1.5) and (3.25, 6) is shaded. The area under the function but over the x axis over the interval (1.5, 3.25) is shaded.

a. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero? b. What are the maximum and minimum values of f? c. What is the average value of f?

정답·풀이 보기

a. f 는 $(1,2)$ 와 $(5,6)$ 에서 양수이고, $(0,1)$ 과 $(3,4)$ 에서 음수이며, $(2,3)$ 과 $(4,5)$ 에서 0이다. b. 최댓값은 2이고 최솟값은 −3이다. c. 평균값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. f is positive over $(1,2)$ and $(5,6),$ negative over $(0,1)$ and $(3,4),$ and zero over $(2,3)$ and $(4,5).$ b. The maximum value is 2 and the minimum is −3. c. The average value is 0.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번우리말 번역

$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 상수 함수가 아니면, $f(M)>\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ 를 만족시키는 점 $M\in [a,b]$ 가 적어도 하나 존재하고, $f(m)<\frac{1}{b-a}{\int }_{a}^{b}f(t)dt$ 를 만족시키는 점 $m\in [a,b]$ 가 적어도 하나 존재하는 이유를 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f$ 가 상수 함수가 아니면 $f$ 의 평균은 최댓값보다 (최댓값)보다 작고 최솟값보다 크며, 이 최댓값과 최솟값은 최대·최소 정리에 의해 $[a,b]$ 에서 실제로 취해진다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류