미적분의 기본정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.3절 · 20번

OpenStax 1권 · 5.3절 · 20번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 ℓ 은 구간별로 정의된 일차함수이다.

함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), (6, 2)를 지난다. 구간 (0, 2)와 (4.5, 6)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (2, 2.5)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. ℓ 이 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. ℓ 이 증가하는 구간을 구하세요. 감소하는 구간을 구하세요. 상수인 구간이 있다면 구하세요. c. ℓ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt,$ where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

A graph of a function that goes through the points (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), and (6, 2). The area under the function and over the x axis over the intervals (0, 2) and (4.5, 6) is shaded. The area over the function and under the x axis over the interval (2, 2.5) is shaded.

a. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero? b. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which intervals, if any, is it constant? c. What is the average value of ℓ?

정답·풀이 보기

a. ℓ 은 $(0,1)$ 과 $(3,6)$ 에서 양수이고, $(1,3)$ 에서 음수이다. b. $(0,1)$ 과 $(3,5)$ 에서 증가하고, $(1,3)$ 과 $(5,6)$ 에서 상수이다. c. 평균값은 $\frac{1}{3}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ℓ is positive over $(0,1)$ and $(3,6),$ and negative over $(1,3).$ b. It is increasing over $(0,1)$ and $(3,5),$ and it is constant over $(1,3)$ and $(5,6).$ c. Its average value is $\frac{1}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 10번우리말 번역

미적분학의 기본정리 제2부를 이용하여 다음 적분의 값을 구하거나, 적용할 수 없는 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x$ . (b) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ .

다 풀었으면 정답 확인

(a) $\cos x$ 의 부정적분은 $\sin x$ 이고, $\cos x$ 는 모든 곳에서 연속이므로 $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x = \sin(\pi)-\sin(-\pi) = 0$ . (b) $\sec^2 x$ 는 $x=\pm\frac{\pi}{2}$ 에서 불연속이므로, $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ 에는 미적분학의 기본정리 제2부를 적용할 수 없다. (c) $\frac{1}{x+1}$ 은 $x=-1$ 에서 불연속이므로, $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ 에는 미적분학의 기본정리 제2부를 적용할 수 없다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류