미적분의 기본정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.3절 · 22번

OpenStax 1권 · 5.3절 · 22번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 $N=10$ 개의 직사각형을 이용한 왼쪽 끝점 리만 합과 오른쪽 끝점 리만 합의 평균인 T₁₀ 을 계산하여 곡선 아래의 넓이를 어림하세요. 그런 다음 미적분학의 기본정리 2부를 이용하여 정확한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $[-4,2]$ 에서 $y={x}^{3}+6{x}^{2}+x-5$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to estimate the area under the curve by computing T₁₀, the average of the left- and right-endpoint Riemann sums using $N=10$ rectangles. Then, using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, determine the exact area.

[T] $y={x}^{3}+6{x}^{2}+x-5$ over $[-4,2]$

정답·풀이 보기

${T}_{10}=49.08,{\int }_{-4}^{2}({x}^{3}+6{x}^{2}+x-5)dx=48$

원본 교재 풀이(영어)

${T}_{10}=49.08,{\int }_{-4}^{2}({x}^{3}+6{x}^{2}+x-5)dx=48$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.3절 · 20번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 ℓ 은 구간별로 정의된 일차함수이다.

함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), (6, 2)를 지난다. 구간 (0, 2)와 (4.5, 6)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (2, 2.5)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. ℓ 이 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. ℓ 이 증가하는 구간을 구하세요. 감소하는 구간을 구하세요. 상수인 구간이 있다면 구하세요. c. ℓ 의 평균값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. ℓ 은 $(0,1)$ 과 $(3,6)$ 에서 양수이고, $(1,3)$ 에서 음수이다. b. $(0,1)$ 과 $(3,5)$ 에서 증가하고, $(1,3)$ 과 $(5,6)$ 에서 상수이다. c. 평균값은 $\frac{1}{3}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산자동 분류