미적분의 기본정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.3절 · 56번

OpenStax 1권 · 5.3절 · 56번우리말 번역

미국의 1년 동안 휘발유 소비율이 $\left(11.21-\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,\times \,{10}^{9}$ gal/mo 꼴의 사인 함수로 모델링된다고 가정하세요.

a. 월평균 소비량은 얼마이며, 시각 $t$ 에서의 소비율이 평균 소비율과 같게 되는 $t$ 의 값은 무엇인지 구하세요. b. 미국에서 1년 동안 소비되는 휘발유의 양(갤런)을 구하세요. c. 4월 초 $(t=3)$ 부터 9월 말 $(t=9)$ 까지 기간 동안의 미국 월평균 휘발유 소비량을 나타내는 적분을 쓰세요.

영어 원문 보기

Suppose the rate of gasoline consumption over the course of a year in the United States can be modeled by a sinusoidal function of the form $\left(11.21-\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,\times \,{10}^{9}$ gal/mo.

a. What is the average monthly consumption, and for which values of t is the rate at time t equal to the average rate? b. What is the number of gallons of gasoline consumed in the United States in a year? c. Write an integral that expresses the average monthly U.S. gas consumption during the part of the year between the beginning of April $(t=3)$ and the end of September $(t=9).$

정답·풀이 보기

a. $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$ 의 주기가 12이고 어떤 주기에 대해서도 적분값이 0이므로 평균은 $11.21\,\times \,{10}^{9}$ 이다. 소비율이 평균과 같아지는 것은 $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=0$ 일 때이며, 즉 $t=3$ 일 때와 $t=9$ 일 때이다. b. 총소비량은 평균 소비율에 기간을 곱한 값이므로 $11.21\,\times \,12\,\times \,{10}^{9}=1.35\,\times \,{10}^{11}$ 이다. c. ${10}^{9}\left(11.21-\frac{1}{6}{\int }_{3}^{9}\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)dt\right)={10}^{9}\left(11.21+\frac{2}{\pi }\right)=11.84x{10}^{9}$

원본 교재 풀이(영어)

a. The average is $11.21\,\times \,{10}^{9}$ since $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$ has period 12 and integral 0 over any period. Consumption is equal to the average when $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=0,$ when $t=3,$ and when $t=9.$ b. Total consumption is the average rate times duration: $11.21\,\times \,12\,\times \,{10}^{9}=1.35\,\times \,{10}^{11}$ c. ${10}^{9}\left(11.21-\frac{1}{6}{\int }_{3}^{9}\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)dt\right)={10}^{9}\left(11.21+\frac{2}{\pi }\right)=11.84x{10}^{9}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.3절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 제1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{{e}^{x}}\ln {u}^{2}du$

다 풀었으면 정답 확인

$\ln ({e}^{2x})\frac{d}{dx}{e}^{x}=2x{e}^{x}$

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산자동 분류