미적분의 기본정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.3절 · 60번

OpenStax 1권 · 5.3절 · 60번우리말 번역

장축의 길이가 2a이고 단축의 길이가 2b인 타원 위의 한 점의 좌표는 $(a\cos \theta ,b\sin \theta ),0\le \theta \le 2\pi$ 이다.

a. $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$ 일 때, 이 점에서 $(-c,0)$ 에 있는 초점까지의 거리가 $d(\theta )=a+c\cos \theta$ 임을 보이세요. b. 이 좌표를 이용하여, 타원 위의 한 점에서 $(-c,0)$ 에 있는 초점까지의 거리의 각 θ에 대한 평균 $\overset{-}{d}$ 가 a임을 보이세요.

영어 원문 보기

A point on an ellipse with major axis length 2a and minor axis length 2b has the coordinates $(a\cos \theta ,b\sin \theta ),0\le \theta \le 2\pi .$

a. Show that the distance from this point to the focus at $(-c,0)$ is $d(\theta )=a+c\cos \theta ,$ where $c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}.$ b. Use these coordinates to show that the average distance $\overset{-}{d}$ from a point on the ellipse to the focus at $(-c,0),$ with respect to angle θ, is a.

정답·풀이 보기

a. ${d}^{2}\theta ={(a\cos \theta +c)}^{2}+{b}^{2}{\sin }^{2}\theta ={a}^{2}+{c}^{2}{\cos }^{2}\theta +2ac\cos \theta ={(a+c\cos \theta )}^{2};$ b. $\overset{-}{d}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }(a+c\cos \theta )d\theta =a$

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.3절 · 56번우리말 번역

미국의 1년 동안 휘발유 소비율이 $\left(11.21-\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,\times \,{10}^{9}$ gal/mo 꼴의 사인 함수로 모델링된다고 가정하세요.

a. 월평균 소비량은 얼마이며, 시각 $t$ 에서의 소비율이 평균 소비율과 같게 되는 $t$ 의 값은 무엇인지 구하세요. b. 미국에서 1년 동안 소비되는 휘발유의 양(갤런)을 구하세요. c. 4월 초 $(t=3)$ 부터 9월 말 $(t=9)$ 까지 기간 동안의 미국 월평균 휘발유 소비량을 나타내는 적분을 쓰세요.

다 풀었으면 정답 확인

a. $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)$ 의 주기가 12이고 어떤 주기에 대해서도 적분값이 0이므로 평균은 $11.21\,\times \,{10}^{9}$ 이다. 소비율이 평균과 같아지는 것은 $\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=0$ 일 때이며, 즉 $t=3$ 일 때와 $t=9$ 일 때이다. b. 총소비량은 평균 소비율에 기간을 곱한 값이므로 $11.21\,\times \,12\,\times \,{10}^{9}=1.35\,\times \,{10}^{11}$ 이다. c. ${10}^{9}\left(11.21-\frac{1}{6}{\int }_{3}^{9}\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)dt\right)={10}^{9}\left(11.21+\frac{2}{\pi }\right)=11.84x{10}^{9}$

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리증명·논술자동 분류