미적분의 기본정리 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.3절 · 62번

OpenStax 1권 · 5.3절 · 62번우리말 번역

태양과 행성 사이의 만유인력의 크기는 $F(\theta )=\frac{GmM}{{r}^{2}(\theta )}$ 이다. 여기서 m 은 행성의 질량, M 은 태양의 질량, G 는 만유인력 상수이고, $r(\theta )$ 는 행성이 궤도의 장축과 각 θ 를 이룰 때 태양과 행성 사이의 거리이다. M, m 과 타원의 매개변수 a, b (장축과 단축의 반 길이)가 주어졌다고 가정할 때, 태양과 행성 사이의 평균 만유인력을 $G,m,M,a,b$ 로 나타내는 적분을 세우세요. 단, 값을 구하지는 마세요.

영어 원문 보기

The force of gravitational attraction between the Sun and a planet is $F(\theta )=\frac{GmM}{{r}^{2}(\theta )},$ where m is the mass of the planet, M is the mass of the Sun, G is a universal constant, and $r(\theta )$ is the distance between the Sun and the planet when the planet is at an angle θ with the major axis of its orbit. Assuming that M, m, and the ellipse parameters a and b (half-lengths of the major and minor axes) are given, set up—but do not evaluate—an integral that expresses in terms of $G,m,M,a,b$ the average gravitational force between the Sun and the planet.

정답·풀이 보기

평균 만유인력 = $\frac{GmM}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{{\left(a+\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}\cos \theta \right)}^{2}}d\theta .$

원본 교재 풀이(영어)

Mean gravitational force = $\frac{GmM}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{{\left(a+\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}\cos \theta \right)}^{2}}d\theta .$

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다음 문제에서 미적분의 기본정리 1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{0}^{\sqrt{x}}tdt$

다 풀었으면 정답 확인

$\sqrt{x}\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2}$

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