정적분의 뜻과 성질 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.4절 · 15번

OpenStax 1권 · 5.4절 · 15번우리말 번역

구의 반지름이 R 단위에서 2R 단위로 두 배가 될 때, 구의 겉넓이의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the increase in the surface area of a sphere as its radius doubles from R unit to 2R units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

$12\pi {R}^{2}=8\pi {\int }_{R}^{2R}rdr$

원본 교재 풀이(영어)

$12\pi {R}^{2}=8\pi {\int }_{R}^{2R}rdr$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.4절 · 25번우리말 번역

원뿔 모양의 물탱크에서 높이 x의 단면의 넓이는 πx²이고, 높이 x까지의 부피는 $\frac{\pi {x}^{3}}{3}$ 입니다. 물이 1 m³/min의 비율로 탱크에 들어갈 때, 5분 후 탱크에 찬 물의 높이를 구하세요. 5분과 10분 사이의 높이의 변화량을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$t=5$ 일 때 물의 높이는 $x={\left(\frac{15}{\pi }\right)}^{1/3}\,\text{m}$ 이다. $t=5$ 부터 $t=10$ 까지 높이의 순변화량은 ${\left(\frac{30}{\pi }\right)}^{1/3}-{\left(\frac{15}{\pi }\right)}^{1/3}$ m이다.

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