치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 10번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 10번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int {(2x-3)}^{-7}dx;u=2x-3$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int {(2x-3)}^{-7}dx;u=2x-3$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{12{(2x-3)}^{6}}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{12{(2x-3)}^{6}}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.4절 · 2번우리말 번역

다음 추론은 타당한가요? 타당하지 않다면 바로잡으세요.

문제: $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 치환 $u=2x+1$ 을 사용한다. 그러면:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{3}u^3+C\\ &=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

다 풀었으면 정답 확인

이 추론은 타당하지 않다. 치환을 할 때에는 미분 요소( $\mathrm{d}x$ )를 처리해야 한다. 치환적분법은 연쇄 법칙에서 나온 것임을 기억하자. 즉, 함수와 그 도함수가 함께 있어야 한다. 다음과 같이 하면 된다:

문제: $\displaystyle\int (2x+1)^2 \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 치환 $u=2x+1$ 을 사용한다. 그러면 $\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x$ 이므로 $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$ 이다:

$\begin{aligned} \int (2x+1)^2 \mathrm{d}x&=\int u^2\cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{6}u^3+C\\ &=\frac{1}{6}\left(2x+1\right)^3+C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 치환적분법계산자동 분류