치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 치환을 써서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the antiderivative using the indicated substitution.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

$u=x^2+1$ 이면 $du=2x\,dx$ 이므로 분자의 $x\,dx$ 가 $\frac12du$ 로 바뀌어요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 안의 식 $x^2+1$ 을 $u$ 로 놓으면 그 도함수 $2x$ 가 분자에 (상수배로) 들어 있어서 식이 간단해져요.
2
$du$ 를 구해요. $u=x^2+1$ 의 양변을 미분하면 $du=2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=\frac12du$ 예요.
3
치환해서 적분해요. $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+1}}=\frac12\int u^{-1/2}du=\frac12\cdot 2u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $u=x^2+1$ 을 다시 넣으면 $\sqrt{x^2+1}+C$ 예요.

답

$\sqrt{x^2+1}+C$

자주 하는 실수

$du=2x\,dx$ 에서 $\frac12$ 을 빼먹거나, 마지막에 $u$ 를 $x$ 로 되돌리지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{{x}^{2}+1}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 u 치환을 이용하여 상수 $C=0$ 일 때의 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점이다.

[계산기 사용] $[0,1]$ 에서 $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$

다 풀었으면 정답 확인

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 3x^2 * √(2x^3 + 1) 을 나타낸다. 원점에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다. 두 번째 그래프는 함수 f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3) 을 나타낸다. 약 0.3에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다.

부정적분은 $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}$ 이다. $C=-\frac{1}{3}$ 로 잡아야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 치환적분법계산기본