치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 u 치환을 이용하여 상수 $C=0$ 일 때의 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점이다.

[계산기 사용] $[0,1]$ 에서 $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 3x^2 * √(2x^3 + 1) 을 나타낸다. 원점에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다. 두 번째 그래프는 함수 f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3) 을 나타낸다. 약 0.3에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다.

부정적분은 $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}$ 이다. $C=-\frac{1}{3}$ 로 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = 3x^2 * sqrt(2x^3 + 1). It is an increasing concave up curve starting at the origin. The second shows the function f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3). It is an increasing concave up curve starting at about 0.3.

The antiderivative is $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}.$ One should take $C=-\frac{1}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 52번우리말 번역

정적분 ${\int }_{0}^{2}\frac{x}{1-{x}^{2}}dx$ 에서 치환 $u=1-{x}^{2}$ 을 사용해도 되나요? 안 된다면 그 이유는 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

아니요, 피적분함수가 $x=1$ 에서 불연속이기 때문입니다.

이 문제로 이어서 풀기

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류