치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 22번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 22번우리말 번역

다음 문제에서 적절한 변수 변환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int {\cos }^{3}\theta \sin \theta d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a suitable change of variables to determine the indefinite integral.

$\int {\cos }^{3}\theta \sin \theta d\theta$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\frac{{\cos }^{4}\theta }{4}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{{\cos }^{4}\theta }{4}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 48번우리말 번역

다음 문제에서 $u$ -치환을 이용하여 상수 $C=0$ 인 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$ , 구간 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$

다 풀었으면 정답 확인

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 구간 (-5pi/16, 5pi/16) 에서 함수 f(x) = sin(x) / cos(x)^3 의 그래프이다. 0보다 작은 값에서는 증가하면서 위로 볼록하고, 0보다 큰 값에서는 증가하면서 아래로 볼록하다. 두 번째 그래프는 같은 구간에서 함수 f(x) = ½ sec(x)^2 의 그래프이다. 폭이 넓고 아래로 볼록한 곡선이며, 0보다 작은 값에서는 감소하고 0보다 큰 값에서는 증가한다.

부정적분은 $y=\frac{1}{2}{\sec }^{2}x$ 이다. $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=0$ 이 되도록 $C=-2$ 로 잡아야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

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