치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번우리말 풀이

다음 문제에서 알맞게 변수를 바꾸어 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a suitable change of variables to determine the indefinite integral.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

풀이 보기

분모 속 $x^3-3$ 을 $u$ 로 놓으면 $du=3x^2dx$ 이고, 분자의 $x^2dx$ 가 $\frac13du$ 가 돼요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 괄호 안의 식 $x^3-3$ 의 도함수 $3x^2$ 이 분자의 $x^2$ 과 상수배 차이만 있어서, 치환하면 깔끔해져요.
2
치환해요. $u=x^3-3$ 으로 놓으면 $du=3x^2dx$ , 즉 $x^2dx=\frac13du$ 예요.
3
적분해요. $\int\frac{x^2dx}{(x^3-3)^2}=\frac13\int u^{-2}du=\frac13\cdot\left(-\frac1u\right)+C=-\frac{1}{3u}+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{1}{3(x^3-3)}+C$

답

$-\dfrac{1}{3(x^3-3)}+C$

자주 하는 실수

$\int u^{-2}du$ 를 $\frac{u^{-1}}{-1}$ 로 계산할 때 음수 부호를 빼먹어요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{3({x}^{3}-3)}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 12번

다음 문제에서 주어진 치환을 써서 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}dx;u={x}^{2}+1$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$\sqrt{x^2+1}+C$