치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번우리말 풀이

다음 문제에서 변수를 바꾸어 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{\pi /4}\frac{\sin \theta }{{\cos }^{4}\theta }d\theta$

풀이 보기

$u=\cos\theta$ 로 놓으면 $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, 정적분에서는 적분 구간도 $u$ 값으로 바꿔요.

1
왜 이렇게 할까요? 분모 $\cos^4\theta$ 의 속함수 $\cos\theta$ 의 도함수가 $-\sin\theta$ 로 분자에 있어요. 그래서 $u=\cos\theta$ 가 알맞아요.
2
치환식과 구간을 바꿔요. $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, $\theta=0$ 이면 $u=1$ , $\theta=\frac\pi4$ 이면 $u=\frac{1}{\sqrt2}$ 예요.
3
식을 바꿔 적분해요. $\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta=\int_1^{1/\sqrt2}-u^{-4}du=\int_{1/\sqrt2}^{1}u^{-4}du$ 위끝과 아래끝을 바꾸면서 음수 부호가 사라졌어요.
4
값을 구해요. $\left[-\frac{1}{3u^3}\right]_{1/\sqrt2}^{1}=-\frac13+\frac{(\sqrt2)^3}{3}=\frac{2\sqrt2-1}{3}$

답

$\dfrac{2\sqrt{2}-1}{3}$

자주 하는 실수

정적분에서 구간을 $u$ 로 바꾸지 않고 $\theta$ 의 구간을 그대로 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\cos \theta ,du=-\sin \theta d\theta ,{\int }_{1/\sqrt{2}}^{1}{u}^{-4}du=\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 28번

다음 문제에서 알맞게 변수를 바꾸어 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{x}^{2}}{{({x}^{3}-3)}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$-\dfrac{1}{3(x^3-3)}+C$