치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 46번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 46번우리말 번역

다음 문제에서 상수 $C=0$ 으로 하여 u-치환을 이용해 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음, 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{\cos (\ln (2x))}{x}dx$ , 구간 $[0,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int \frac{\cos (\ln (2x))}{x}dx$ on $[0,2]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째는 함수 f(x) = cos(ln(2x)) / x 의 그래프로, 대략 구간 (0,.25)에서 가파르게 증가한 뒤 x축을 향해 완만하게 감소한다. 두 번째는 함수 f(x) = sin(ln(2x)) 의 그래프로, 대략 구간 (0, .25)에서 가파르게 감소한 뒤 완만한 곡선을 그리며 증가하여 제1사분면으로 들어간다.

부정적분은 $y=\sin (\ln (2x))$ 이다. 이 부정적분은 $x=0$ 에서 연속이 아니므로, $y=\sin (\ln (2x))-C$ 가 정적분이 되도록 하는 C 의 값은 찾을 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = cos(ln(2x)) / x, which increases sharply over the approximate interval (0,.25) and then decreases gradually to the x axis. The second shows the function f(x) = sin(ln(2x)), which decreases sharply on the approximate interval (0, .25) and then increases in a gently curve into the first quadrant.

The antiderivative is $y=\sin (\ln (2x)).$ Since the antiderivative is not continuous at $x=0,$ one cannot find a value of C that would make $y=\sin (\ln (2x))-C$ work as a definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 34번우리말 번역

다음 문제에서 적절한 변수 변환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int ({\sin }^{2}\theta -2\sin \theta ){({\sin }^{3}\theta -3{\sin }^{2}\theta )}^{3}\cos \theta d\theta$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{1}{12}{({\sin }^{3}\theta -3{\sin }^{2}\theta )}^{4}+C$

이 문제로 이어서 풀기

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