치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 58번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 58번우리말 번역

다음 문제에서 변수 변환을 이용하여 각 정적분의 값이 0임을 보이세요.

${\int }_{0}^{2}(1-t)\cos (\pi t)dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.

${\int }_{0}^{2}(1-t)\cos (\pi t)dt$

정답·풀이 보기

$u=1-t$ 이면 정적분은 다음과 같이 된다. $\begin{array}{c}{\int }_{1}^{-1}u\cos (\pi (1-u))du \\ ={\int }_{1}^{-1}u[\cos \pi \cos \pi u-\sin \pi \sin \pi u]du \\ =-{\int }_{1}^{-1}u\cos \pi udu \\ ={\int }_{-1}^{1}u\cos \pi udu=0\end{array}$ 피적분함수가 기함수이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

$u=1-t;$ the integral becomes $\begin{array}{c}{\int }_{1}^{-1}u\cos (\pi (1-u))du \\ ={\int }_{1}^{-1}u[\cos \pi \cos \pi u-\sin \pi \sin \pi u]du \\ =-{\int }_{1}^{-1}u\cos \pi udu \\ ={\int }_{-1}^{1}u\cos \pi udu=0\end{array}$ since the integrand is odd.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 46번우리말 번역

다음 문제에서 상수 $C=0$ 으로 하여 u-치환을 이용해 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음, 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{\cos (\ln (2x))}{x}dx$ , 구간 $[0,2]$

다 풀었으면 정답 확인

그래프 두 개이다. 첫 번째는 함수 f(x) = cos(ln(2x)) / x 의 그래프로, 대략 구간 (0,.25)에서 가파르게 증가한 뒤 x축을 향해 완만하게 감소한다. 두 번째는 함수 f(x) = sin(ln(2x)) 의 그래프로, 대략 구간 (0, .25)에서 가파르게 감소한 뒤 완만한 곡선을 그리며 증가하여 제1사분면으로 들어간다.

부정적분은 $y=\sin (\ln (2x))$ 이다. 이 부정적분은 $x=0$ 에서 연속이 아니므로, $y=\sin (\ln (2x))-C$ 가 정적분이 되도록 하는 C 의 값은 찾을 수 없다.

이 문제로 이어서 풀기

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