치환적분법 연습문제 — OpenStax 1권 · 5.5절 · 62번

OpenStax 1권 · 5.5절 · 62번우리말 번역

$g(t)=\frac{t}{{(1-{t}^{2})}^{a}}$ 의 그래프 아래에서 $t=0$ 과 $t=x$ 사이의 넓이를 구하세요. 단, $0<x<1$ 이고 $a>0$ 은 고정된 상수입니다. $x\to 1$ 일 때의 극한값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area under the graph of $g(t)=\frac{t}{{(1-{t}^{2})}^{a}}$ between $t=0$ and $t=x,$ where $0<x<1$ and $a>0$ is fixed. Evaluate the limit as $x\to 1.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{x}g(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{u=1-{x}^{2}}^{1}\frac{du}{{u}^{a}}=\frac{1}{2(1-a)}{u}^{1-a}{|}_{u=1-{x}^{2}}^{1}=\frac{1}{2(1-a)}(1-{(1-{x}^{2})}^{1-a}).$ $x\to 1$ 일 때 극한은 $a<1$ 이면 $\frac{1}{2(1-a)}$ 이고, $a\ge 1$ 이면 극한은 +∞ 로 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{x}g(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{u=1-{x}^{2}}^{1}\frac{du}{{u}^{a}}=\frac{1}{2(1-a)}{u}^{1-a}{|}_{u=1-{x}^{2}}^{1}=\frac{1}{2(1-a)}(1-{(1-{x}^{2})}^{1-a}).$ As $x\to 1$ the limit is $\frac{1}{2(1-a)}$ if $a<1,$ and the limit diverges to +∞ if $a\ge 1.$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 5.5절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int (x-1){({x}^{2}-2x)}^{3}dx;u={x}^{2}-2x$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{1}{8}{({x}^{2}-2x)}^{4}+C$

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