넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — OpenStax 1권 · 6.1절 · 3번

OpenStax 1권 · 6.1절 · 3번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 두 곡선 사이의 영역을 두 개의 더 작은 영역으로 나눈 다음, $x\text{축}$ 을 따라 적분하여 넓이를 구하세요. 풀어야 할 적분이 두 개임에 유의하세요.

$y={x}^{3}$ 와 $y={x}^{2}+x$

이 그림에는 두 그래프가 있다. 두 그래프는 함수 f(x) = x^3 과 g(x)= x^2+x 의 그래프이다. 이 그래프들은 두 번 만난다. 교점 사이의 영역이 색칠되어 있다. 첫 번째 영역은 f(x)에 의해 위로 유계이고 g(x)에 의해 아래로 유계이다. 두 번째 영역은 g(x)에 의해 위로 유계이고 f(x)에 의해 아래로 유계이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, split the region between the two curves into two smaller regions, then determine the area by integrating over the $x\text{-axis}.$ Note that you will have two integrals to solve.

$y={x}^{3}$ and $y={x}^{2}+x$

This figure is has two graphs. They are the functions f(x) = x^3 and g(x)= x^2+x. These graphs intersect twice. The regions between the intersections are shaded. The first region is bounded above by f(x) and below by g(x). The second region is bounded above by g(x) and below by f(x).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{13}{12}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{13}{12}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.5절 · 2번우리말 번역

곡선 $y=\arcsin\left(\dfrac{2x}{\pi}\right)$ 와 $y=\sqrt{\dfrac{\pi x}{2}}$ 사이의 유계 영역의 넓이를 $n=5$ 개의 직사각형을 사용하여 어림하려고 합니다.

(a) 아래 그림에 오른쪽 리만 합에 해당하는 (세로) 직사각형 다섯 개를 그리세요. (b) 가로 직사각형을 사용한다면 쓸 수 있는 직사각형 다섯 개를 아래 그림에 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $x=0$ 에서 $x=\frac{\pi}{2}$ 까지의 구간에서 넓이를 구하고 있다. $n=5$ 개의 직사각형을 사용하므로 직사각형은 다음 구간들을 덮는다. $\left[0,\frac{\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{3\pi}{10},\frac{2\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{2\pi}{5},\frac{\pi}{2}\right].$

(b) $y=0$ 에서 $y=\frac{\pi}{2}$ 까지의 구간에서 넓이를 구하고 있다. (일반적으로 가로 직사각형에서 세로 직사각형으로 바꾸면 적분 구간의 끝점이 달라진다. 이 예에서 같은 것은 우연일 뿐이다.) $n=5$ 개의 직사각형을 사용하므로 이 직사각형들은 $y$ 축의 다음 구간들을 덮는다. $\left[0,\frac{\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{10}\right],\quad \left[\frac{3\pi}{10},\frac{2\pi}{5}\right],\quad \left[\frac{2\pi}{5},\frac{\pi}{2}\right].$

문제에서 어느 쪽 끝점을 사용할지 정하지 않았다. (a)와 맞추어 위쪽 끝점을 사용하자.

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류