빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

넓이(여러 가지 함수)

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

OpenStax 1권 · 6.1절 · 31번우리말 풀이

다음 문제에서 두 식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠한 뒤, xx 축 또는 yy 축 중 더 편한 쪽으로 적분하여 넓이를 구하세요.

y=4−3xy=4-3x 와 y=1xy=\frac1x

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

y=4−3x and y=1xy=4-3x\,\text{and}\,y=\frac{1}{x}

풀이 보기

먼저 교점을 구하고, 구간에서 어느 그래프가 위에 있는지 확인한 뒤 (위 −- 아래)를 적분해요.

  1. 1

    두 그래프를 그려요. y=4−3xy=4-3x 는 기울기 −3-3, yy 절편 44 인 직선이고, y=1xy=\frac1x 는 제1사분면에서 감소하는 곡선이에요. 직선이 곡선과 두 점에서 만나 그 사이에 영역이 생겨요.

  2. 2

    교점을 구해요. 4−3x=1x4-3x=\frac1x 의 양변에 xx 를 곱하면 4x−3x2=14x-3x^2=1, 즉 3x2−4x+1=03x^2-4x+1=0 이고 (3x−1)(x−1)=0(3x-1)(x-1)=0 이므로 x=13, 1x=\frac13,\ 1 이에요.

  3. 3

    두 교점 사이의 한 점 x=12x=\frac12 에서 직선은 4−32=524-\frac32=\frac52, 곡선은 22 이므로 직선이 위에 있어요.

  4. 4

    넓이는 (위 −- 아래)의 정적분이에요. A=∫1/31(4−3x−1x)dx=[4x−32x2−ln⁡x]1/31A=\int_{1/3}^{1}\left(4-3x-\frac1x\right)dx=\left[4x-\frac32x^2-\ln x\right]_{1/3}^{1}

  5. 5

    x=1x=1 에서의 값은 4−32−0=524-\frac32-0=\frac52 이고, x=13x=\frac13 에서의 값은 43−16−ln⁡13=76+ln⁡3\frac43-\frac16-\ln\frac13=\frac76+\ln3 이에요. 따라서 A=52−76−ln⁡3=43−ln⁡3A=\frac52-\frac76-\ln3=\frac43-\ln3

답

43−ln⁡3\frac43-\ln 3 (약 0.2350.235)

자주 하는 실수

x=13x=\frac13 에서 −ln⁡13=+ln⁡3-\ln\frac13=+\ln3 의 부호를 틀리기 쉬워요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations y=4-3x and y=1/x. The graphs intersect, having region between them shaded. The region is in the first quadrant.

43−ln⁡(3)\frac{4}{3}-\ln (3)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.1절 · 27번

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. xx축 또는 yy축 중 편한 쪽으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

y=xexy=xe^x, y=exy=e^x, x=0x=0, x=1x=1

다 풀었으면 정답 확인

e−2e-2

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석보통

「넓이(여러 가지 함수)」 문제 목록으로