넓이(여러 가지 함수) 연습문제 — OpenStax 1권 · 6.1절 · 33번

OpenStax 1권 · 6.1절 · 33번우리말 번역

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고, 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축 또는 $y$ 축 중 더 편리해 보이는 쪽을 따라 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y={x}^{2}-3x+2\,\text{그리고}\,y={x}^{3}-2{x}^{2}-x+2$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y={x}^{2}-3x+2\,\text{and}\,y={x}^{3}-2{x}^{2}-x+2$

정답·풀이 보기

이 그림에는 두 그래프가 있다. 두 그래프는 방정식 y=x^2-3x+2 와 y=x^3-2x^2-x+2 의 그래프이다. 두 그래프는 서로 만나며, 두 그래프 사이의 영역이 색칠되어 있다.

$\frac{1}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations y=x^2-3x+2 and y=x^3-2x^2-x+2. The graphs intersect, having region between them shaded.

$\frac{1}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 6.1절 · 11번우리말 번역

$f(x) = 1-x^2$ , $g(x) = ax^2 - a$ 라 하자. 여기서 $a$ 는 알려지지 않은 양의 실수이다. 두 곡선 $f$ 와 $g$ 사이의 넓이가 2가 되는 $a$ 의 값을 모두 구하세요.

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이 두 이차함수는 모두 점 $(-1,0)$ 과 $(1,0)$ 을 지나므로, 모든 양수 $a$ 에 대해 이 두 점이 두 그래프의 교점이다. 또한 $-1 < x < 1$ 에서 $1 - x^2 > ax^2 - a$ 이므로, 두 곡선 사이의 넓이는 다음과 같다.

$A = \int_{-1}^{1} \left( 1 - x^2 - (ax^2 - a) \right) \, dx = \int_{-1}^{1} \left( (1+a) - (1+a)x^2 \right) \, dx\,.$ 적분을 계산하면

$\begin{aligned}A &= \int_{-1}^{1} \left( 1 + a - (1+a)x^2 \right) \, dx \\ &= \left. (1+a)x - \frac{1+a}{3}x^3 \right|_{-1}^{1} \\ &= (1+a)(1) - \frac{1+a}{3}(1)^3 - \left( (1+a)(-1) - \frac{1+a}{3}(-1)^3 \right) \\ &= 2(1+a) - \frac{2(1+a)}{3} \\ &= \frac{4(1+a)}{3}\end{aligned}\,.$ $A = 2$ 가 되는 $a$ 의 값을 구해야 하므로 다음 방정식을 푼다.

$2 = \frac{4(1+a)}{3}\,,$ 이로부터 $a = \frac{1}{2}$ 이다. 따라서 아래 그림에서 두 곡선 사이의 넓이는 정확히 $A = 2$ 이다.

a = 1/2 일 때 함수 f(x) = 1-x 2 와 g(x) = ax 2 - a 의 그래프. 이 두 포물선은 (-1,0) 과 (1,0) 에서 만나며, 두 포물선이 둘러싼 유한한 영역에서 f 는 위쪽 함수이고 g 는 아래

이 문제로 이어서 풀기

# 넓이(여러 가지 함수)그래프·표 해석자동 분류