곡선의 길이 연습문제 — OpenStax 1권 · 6.4절 · 1번

OpenStax 1권 · 6.4절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간에서 함수의 그래프의 길이를 구하세요.

$y=5x$ ( $x=0$ 부터 $x=2$ 까지)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the length of the functions over the given interval.

$y=5x\,\text{from}\,x=0\,\text{to}\,x=2$

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곡선의 길이는 $\int\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ 예요.

1
곡선 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 부터 $b$ 까지의 길이는 $L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$ 예요.
2
$y'=5$ 이므로 $\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$ 이에요.
3
$L=\int_0^2\sqrt{26}\,dx=\sqrt{26}\,[x]_0^2=2\sqrt{26}$
4
검산해요. 두 점 $(0,0)$ , $(2,10)$ 사이의 거리는 $\sqrt{2^2+10^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$ 으로 같아요.

답

$2\sqrt{26}$

자주 하는 실수

근호 안에서 $1+5^2$ 대신 $1+5$ 로 쓰는 실수가 많아요. 기울기는 제곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{26}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.4절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서, 다음 곡선을 $y\text{축}$ 을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요. 적분을 정확하게 계산할 수 없으면 계산기를 사용하여 어림하세요.

[계산기 사용] $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , $x=1$ 에서 $x=3$ 까지

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다 풀었으면 정답 확인

$25.645$