일

(a) 먼저 원기둥 탱크의 한쪽 끝면에 대해 좌표축을 잡고 그림을 그린다. 지면을 (수평인) $y$축에 대응시키고 양의 $x$축이 아래쪽을 향하게 잡으면 가장 간단하다. 이렇게 하면 $x = 0$ 은 지면이고 $x$의 값은 특정 위치의 깊이를 나타낸다. 탱크의 원형 끝면은 반지름이 $3$ 이고, 맨 위가 지하 $2$피트에 있으므로 중심이 점 $(5,0)$ 이다. 따라서 이 원의 방정식은 $$(x-5)^2 + y^2 = 3^2\,.$$ 이다. $y$에 대해 풀면 아래 그림의 오른쪽에 나타낸 반원의 방정식 $y = f(x) = \sqrt{9 - (x-5)^2}$ 을 얻는다. 다음으로, 깊이 $x$ 에 있는 조각은 두께가 $\triangle x$ 인 직사각형 판 모양이다. 길이는 $10$ 이고 너비는 $2 f(x) = 2 \sqrt{9 - (x-5)^2}$ 이다. 따라서 이 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx 10 \cdot 2 \sqrt{9 - (x-5)^2} \cdot \triangle x\,.$$ 이다. 물의 무게가 세제곱피트당 $62.4$ 파운드이므로, 전형적인 조각의 무게(따라서 그 조각에 가해야 하는 힘)는 $$F_{\text{조각}} \approx 62.4 \cdot 20 \sqrt{9 - (x-5)^2} \triangle x\,.$$ 이다. 이 조각을 지하 $x$피트 깊이에서 지면 위 $4.5$피트에 있는 트럭의 탱크까지 옮기려면 각 조각이 $x + 4.5$피트를 이동해야 하므로, 이 조각을 옮기는 데 필요한 일은 $$W_{\text{조각}} \approx (x+4.5) 1248 \sqrt{9 - (x-5)^2} \triangle x\,.$$ 이다. 마지막으로 탱크의 절반을 비우려면 $x = 2$ 부터 $x = 5$ 까지의 조각을 생각해야 하므로, 각 조각에 필요한 일을 정적분으로 합하면 $$W = \int_2^5 1248 (x+4.5) \sqrt{9 - (x-5)^2} \, dx = 1404(19\pi - 8) \approx 72573.13$$ 피트-파운드이다. (b) 남아 있는 물이 탱크의 한쪽 끝면에 가하는 수압에 의한 힘을 구하기 위해, 먼저 위치 $x$ 에 있는 직사각형 조각의 넓이를 구하면 $$A_{\text{조각}} \approx 2 f(x) \triangle x = 2 \sqrt{9 - (x-5)^2} \triangle x\,.$$ 이다. 이러한 조각은 $x = 5$ 와 $x = 8$ 사이에 놓이며, 이 $x$의 값은 남아 있는 물의 맨 위부터 바닥까지의 깊이를 나타낸다. 이 구간의 $x$ 에서 조각의 수면 아래 깊이는 $x - 5$ 이다. 압력은 무게 밀도에 깊이를 곱한 것이므로 $$P_{\text{조각}} \approx 62.4 (x-5)\,.$$ 이다. 마지막으로 $F = P \cdot A$ 이므로, 물이 이 조각에 가하는 전체 힘은 $$F_{\text{조각}} = P_{\text{조각}} \cdot A_{\text{조각}} \approx 62.4 (x-5) \cdot 2 \sqrt{9 - (x-5)^2} \triangle x\,.$$ 이다. 이를 적분하여 전체 힘을 합하면 $$F = \int_5^8 124.8 (x-5) \sqrt{9 - (x-5)^2} \, dx \approx 1123.2$$ 파운드이다.